FIS (dN6.04) - Un resorte ideal de constante elástica k tiene un extremo unido a la pared y el otro a un cuerpo de masa m. Una fuerza horizontal de módulo F mantiene el cuerpo en equilibrio sobre una superficie horizontal sin rozamiento, estirando al resorte. En t=0 s se suprime F. El módulo de la máxima rapidez que alcanza el cuerpo para t>0 es:

(Datos: l₀ = 1 m ; k = 1.000 N/m ; 2,5 kg ; F = 60 N )

   a) 1 m/s     b) 1,2 m/s     c) 2,4 m/s     d) 2 m/s     e) 6 m/s     f) 0,6 m/s

La primera parte del ejercicio, aquella en la que aparece la fuerza estirando el resorte, sirve para que puedas calcular cuánto está deformado el resorte antes que lo sueltes (antes de que desaparezca F).

Se trata, sncillamente de un caso de la Ley de Hooke, fuerzas elásticas.

F = k Δl

De donde:

Δl = F / k

Δl = 60 N  / 1.000 N/m

Δl = 0,06 m

Es obvio que ese estiramiento será el máximo durante la oscilación, o sea, la amplitud.

A = 0,06 m

Ya te habrás dado cuenta que la longitud del resorte no estirado, l₀ = 1 m, no sirve para nada y que sólo po ponen para confundirte... o no tanto.

Aohra viene la parte de oscilaciones, en este caso se trata de un MAS, cuyas ecuaciones horarias tienen este formato:

x = A cos (ωt+φ)

v = – A ω sen (ωt+φ)

a = – A ω² cos (ωt+φ)

Como ves, para armar las ecuaciones horarias necesitás conocer 3 constantes: la amplitud, A, la pulsación, ω y el álgulo de fase inicial, φ.

La amplitud ya la tenemos. Y la pulsación, ω, la podemos hallar de esta manera (si te olvidaste podés verlo acá).

ω = (k/m)^½

ω = ( 1.000 N/m / 2,5 kg )^½

ω = 20 s^-1

Y finalmente, para conocer φ podemos utilizar la primera ecuación horaria y utilizarla para el instante inicial, t = 0 s, en el que la posición valdrá exactamente lo mismo que la amplitud.

x = A cos ( ω t + φ)

0,06 m = 0,06 m cos ( 20 s^-1 0 s + φ)

De ahí surge que:

1 = cos φ

φ = 0

Resumiendo:

La velocidad máxima de la masa coincidirá con la posición de equilibrio, x = 0 m.

0 m = 0,06 m cos ( 20 s^-1 t_(0m))

0 = cos ( 20 s^-1 t_(0m))

El coseno vale 0 para el ángulo π/2, luego:

20 s^-1 t_(0m) = π/2

t_(0m) = π / 2 . 20 s^-1

Con ese valor vamos a la segunda ecuación horaria, la de velocidad y calculamos esa velocidad (cuya rapidez es la máxima):

v_(0m) = – A . ω sen (ωt+φ)

v_(0m) = – 0,06 m . 20 s^-1. sen (20 s^-1. 0,07854 s + 0)

v_(0m) =  – 1,2 m/s

Tal vez ya te habrás dado cuenta que era posible encontrar esta velocidad máxima sin calcular el instante correspondiente... porque la velocidad es máxima cuando la función seno también alcanza su valor máximo, que es... 1.