FIS 101 (d6.06) - Un péndulo simple de longitud L oscila con amplitud A. Expresar, como función del tiempo, (a) su desplazamiento angular, (b) su velocidad angular, (c) su aceleración angular, (d) su velocidad tangencial, (e) su aceleración centrípeta y (f) la tensión que ejerce la cuerda si la masa de la lenteja es m.

Péndulo simple: el movimiento de la masa que cuelga describe un arco de circunferencia... y acá agregamos, con oscilaciones pequeñas, digamos, menores de 5 grados para cada lado, después te cuento por qué.

Arranquemos con unos esquemas en los que aparecen las principales variables de las que vamos a hablar.

Aunque en los casos que ya estudiamos lo hicimos sobre péndulos cónicos, tiene muchos aspectos idéntico, por ejemplo, que el período de oscilación se calcula de la misma manera:

T² = 4 π² L / g

Con lo que:

ω² = g / L

Que además era independiente de la masa y de la amplitud.

Y otra relación importantísima que tenemos que destacar es que el apartamiento (mirá el triangulito rectángulo sombreado), x, lo podemos expresar como:

x = L sen θ

Vamos a poner la lupa en un punto intermedio del movimiento del péndulo para estudiar con más detalle  las variables de interés:

Donde a_c y a_t son las aceleraciones tangencial y centrípeta respectivamente. Y según lo que aprendimos en movimientos circulares, la aceleración centrípeta se podía expresar como:

a_c = v² / L

Si metemos eso en la anterior de aceleración centrípeta, nos queda:

T = m ( g cos θ + v²/L)

Lo que demuestra claramente que la tensión aumenta con la velocidad, tiene un mínimo cuando el péndulo alcanza su amplitud y un máximo cuando cuando el péndulo pasa por la posición vertical.

La ecuación de Newton (dirección tangencial) permite vincular el apartamiento angular, θ, con la aceleración angular, α.

P_t = m a_t

P sen θ = m α L

m g sen θ = m α L

g sen θ = α L

g sen θ − α L = 0                    (ecuación de movimiento angular)

Lo que recibe el nombre de ecuación de movimiento. Y de ella se deduce una expresión equivalente para las posiciones y aceleraciones laterales (aunque para eso es necesario aproximar el desplazamiento lateral al desplazamiento medido sobre la trayectoria, por ello sólo es aceptable para oscilaciones pequeñas). a_t ≈ a_x.

(g/L) x − a_t = 0

(g/L) x − a_x = 0                      (ecuación de movimiento lateral)

Ambas se resuelven operando con ecuaciones diferenciales lo que excede el nivel del curso de No me salen, por lo que simplemente vamos a mostrar los resultados que no son otros que los que pide nuestro enunciado. Y que son los que ya te esperás:

Donde w es la velocidad angular del cuerpo; ω es la velocidad angular (constante) del movimiento circular asociado y es igual a (g/L)^½; θ_A es el ángulo de apartamiento máximo (θ_A = A/L) ; y φ es el ángulo de fase inicial.

Ahora las de desplazamiento lateral, que ya las conocés.