Capaz que te acordás cómo podían distribuirse las ondas resonantes en un tubo abierto en ambos extremos y en uno abierto en uno solo. Las fórmula genéricas para las longitudes de onda, λ, de las frecuencias resonantes son:

λ_n = 2 L / n                    (ambos extremos abiertos)

λ_n = 4 L / (2n – 1)            (un extremo cerrado)

Lo interesante de este caso es que no sabemos cuál usar, porque el señor que inventó este ejercicio no fue tan amable de decírnoslo y supone que nosotros nos vamos a dar cuenta. Nos hallamos desconcertados... no sabemos cómo responder el asunto...

Miremos qué pasa si actuamos como si de un tubo todo abierto se tratara (siempre hay tiempo para arrepentirse). Como los armónicos son sucesivos, si la frecuencia enésima es la de 450 Hz, la siguiente es la enésima (n+1) será la de 550 Hz. Puesto en símbolos...

450 s^-1 = 344 m/s n / 2 . L

550 s^-1 = 344 m/s (n+1) / 2 . L

Con lo que arribamos a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que tiene solución, por supuesto, y que vos podés resolver. Fijate que las incógnitas son: el número de armónico, n, y la longitud del tubo, L, que es lo que a vos te interesa.

Ok... no digas nada... yo te lo hago. Despejo 2 . L de cada una...

2 . L = 0,7644 m . n

2 . L = 0,6255 m . (n+1)

Ahora las igualo y aplico la propiedad distributiva en el segundo miembro de la segunda ecuación y en lo que me queda reemplazo la primera. No te pierdas.

0,7644 m . n = 0,6255 m . (n+1)

0,7644 m . n = 0,6255 m . n + 0,6255 m

Desde ahí seguí sin mi ayuda... nos da n = 4,5 y L = 1,72 m... Ok, puede tratarse de un tubo de esa longitud, ¡pero no puede tratarse del armónico número 4,5! El número de armónico, n, tiene que ser siempre un número natural.

Probemos la idea de que se trata de un tubo cerrado en uno de los extremos:

450 s^-1 = 344 m/s (2n – 1) / 4 . L

550 s^-1 = 344 m/s (2n + 1) / 4 . L

Ya sé... te perdiste. Fijate: en el modo enésimo no hay problema. Pero en el modo (n+1)-ésimo sería: (2 (n+1) – 1) = (2n+2–1) = (2n+1)... que es lo que puse.

Bueno, opero algebraicamente igual que en el caso de los extremos abiertos:

4 . L = 0,7644 m . (2n – 1)

4 . L = 0,6255 m . (2n + 1)

Igualo...

0,7644 m . (2n – 1) = 0,6255 m . (2n + 1)

2n . 0,7644 m – 0,7644 m = 2n . 0,6255 m + 0,6255 m

Todo tuyo... Obtenemos n = 5... y

f = v / λ