Ondas armónicas
Movimiento oscilatorio armónico simple (MOAS)

¿Qué tiene que ver el movimiento oscilatorio armónico simple (MOAS) con las ondas? ¿Qué tienen que ver ambos con el movimiento circular uniforme (MCU)?

Si venís leyendo los apuntes teóricos de esta guía ya es hora de que te preguntes qué tenían que ver las ondas periódicas con el MCU. La relación es obvia: conceptos como período y frecuencia no sólo aparecen en ambos temas... ¡sino que significan lo mismo!

Para explicártelo, preparé este esquema de la relación. En la izquierda tenés una circunferencia que podría ser la trayectoria de un móvil animado de un MCU... con su radio, r, y su velocidad angular, ω.

Si interpretás bien el esquema, entenderás que el móvil ya dió una vuelta entera y un poquito más (menos de un cuarto), ¿estamos de acuerdo? Bien, la trayectoria circular podemos referirla a un par de ejes cartesianos x e y, como se muestra en el esquema. El gráfico de la derecha es, justamente, el gráfico de posición-tiempo -que ya conocés y practicaste hasta el cansancio en el capítulo de cinemática-, que muestra solamente el desplazamiento del móvil en la dirección del eje y. (Podría haber hecho lo mismo pero en la dirección x).

Ese apartamiento en función del tiempo se puede expresar fácilmente de esta manera:

y = r sen (ωt)

La explicación es muy sencilla. Mirá atentamente el detalle del triángulo que queda formado en cada instante entre el radio que marca la posición del móvil (MCU) y las direcciones x e y.

Supongamos por un momento, para simplificar las cosas, que en el instante igual a 0 s el ángulo valía 0... entonces:

θ = ωt

con lo que llegamos a la ecuación de allá arriba. Generalicemos un poco: supongamos que no coinciden los ceros del tiempo con los del ángulo (no te olvides que estos ceros son arbitrarios, convencionales). Sea entonces φ el ángulo "inicial" (también llamado de fase inicial o ángulo de fase), nos queda:

y = r sen (ωt+φ)

Y análogamente:

x = r cos (ωt+φ)

De modo que si tenemos un movimiento oscilatorio con esta pinta (senoidal o cosenoidal) la podemos asociar a un MCU ficticio, irreal, pero que echa enorme luz sobre nuestro movimiento oscilatorio y facilita los cálculos enormemente. Lógicamente, no hablaremos de radio (ficticio), sino de amplitud (la magnitud real de la oscilación)... Tampoco hablaremos de velocidad angular sino de pulsación...

La pulsación de una onda (como la velocidad angular en un MCU) está relacionada sencillamente con la frecuencia del movimiento:

ω = 2π . f = 2π / T

Fijate qué fácil es -ahora- encontrar los puntos notables de una oscilación...

Las oscilaciones periódicas y armónicas también son llamados movimientos armónicos oscilatorios simples (MOAS). En ellos ω y φ (los parámetros del MCU asociado, ficticio) son constantes de modo que el gráfico en función del tiempo es semejante a éste.

Lo interesante de todo esto no es una simple curiosidad matemática. Resulta que los movimientos oscilatorios más importantes del universo ¡son armónicos y simples! De modo que para describirlos se utilizan estas herramientas matemáticas.

CHISMES IMPORTANTES

• La importancia del MOAS trasciende sus fronteras, ya que como lo demostró un señor llamado Fourier, cualquier oscilación periódica puede ser considerada como una superposición de varios movimientos oscilatorios armónicos simples.
• La ecuación del MOAS facilita enormemente el estudio de la cinemática del movimiento... Si recordás que la función velocidad es la derivada primera de la de posición; y la de aceleración la segunda, hallamos rápidamente...
  
          x = A cos (ωt+φ)
  
          v = – A ω sen (ωt+φ)
  
          a = – A ω² cos (ωt+φ)
  
  Veo que ya te olvidaste cómo se deriva... pero no tiene importancia; lo que sí la tiene es que puedas discutir físicamente estos hallazgos.
  
• Las oscilaciones eléctricas (aquellas que, por ejemplo, producen la corriente alterna) también se describen perfectamente con un MOAS.
  

• ¿Cómo describirías vectorialmente (en un par de ejes cartesianos) el movimiento de una partícula animada de un MCU?
• ¿Qué será un MOA amortiguado?
• Tiene sentido que cada sistema físico (mecánico, por ejemplo) tenga una y sólo una frecuencia (o modo de vibración) natural?
• ¿Qué se te ocurre con la palabra resonancia?
• Acordate de la expresión del período del movimiento del péndulo simple ¿te animás a encontrar la velocidad angular del MCU asociado?