NMS 34*) Un bloque cúbico, macizo y homogéneo de 10 cm de arista es colgado del techo mediante un resorte ideal de 25 cm de longitud natural, de manera tal, que en el equilibrio la longitud del resorte es de 45 cm. Se sumerge al cubo en un recipiente con agua, y al alcanzar nuevamente el equilibrio, el 75% de su volumen queda dentro de dicho liquido. Si la longitud del resorte en estas condiciones es 35 cm. Calcule la densidad del bloque

Bueno, bueno... no te abatates ni te abatatos ni te abatatas. Es sencillito pero hay que ser muy prolijo. Como siempre vamos a reemplazar los datos numéricos en la última instancia, nunca antes.

Además tenés que tener en claro que las fuerzas que hacen los elásticos equivalen al producto entre la constante elástica, k, y la deformación, Δx. De modo que cuando sostiene al cuerpo en el aires hará una fuerza que llamaremos F_e1 y cuando sostiene al cuerpo semisumergido hará una fuerza menos que llamaremos F_e2.

F_e1 = k . Δx₁

F_e2 = k . Δx₂

Donde los estiramientos valdrán:

Δx₁ = 0,2 m

Δx₂ = 0,1 m

Ya que las deformaciones se calculan fácilmente restando la longitud del resorte estando deformado menos la longitud del resorte sin deformar (la longitud natural). Todas estas cuestiones nada tienen que ver con la hidrostática pero si no las tenés claras, la resolución fracasa. Ahora sí, vamos a la hidrostática empezando, como siempre, por Newton.

El peso específico, γ, es el cociente entre el peso y el volumen. Además es el producto entre la densidad y la gravedad: γ = ρ . g . Entonces el peso es igual al producto entre el peso específico y el volumen. Podemos expresarlo así:

P = ρ_cpo . g . V                                        (def. de peso específico)

Y el empuje, según el principio de arquímedes, es igual al peso del líquido desalojado. Según el enunciado el cuerpo semisumergido desaloja un volumen de agua igual al 75% de su propio volumen, de modo que:

E = ρ_H20 . g . 0,75 . V                                              (Arquímedes)

Reescribamos las ecuaciones de Newton reemplazando lo que sabemos de las fuerzas elásticas, el peso y el empuje:

ρ_cpo . g . V = k . Δx₁

ρ_cpo . g . V = k . Δx₂ + ρ_H20 . g . 0,75 V

Y ahora supongo que ya te diste cuenta de que el ejercicio quedó cocinado, porque tenés dos ecuaciones y dos incógnitas: la constante elástica y la densidad de cuerpo, k y ρ_cpo. La densidad del agua es un dato conocido aunque el enunciado no te lo diga,

ρ_H20 = 1.000 kg/m³

Bueno, vamos al álgebra, yo te lo hago para que no llores. De la primera ecuación despejamos la constante elástica:

k = ρ_cpo . g . V / Δx₁

Y eso lo metemos en la segunda:

ρ_cpo . g . V = ρ_cpo . g . V . (Δx₂ / Δx₁) + ρ_H20 . g . 0,75 V

Paso el primer término del segundo miembro al primer miembro:

ρ_cpo . g . V — ρ_cpo . g . V . (Δx₂ / Δx₁) = ρ_H20 . g . 0,75 V

El cociente Δx₂ / Δx₁ vale 0,5, dejame que lo reemplace ahora para mayor claridad. Además la gravedad y el volumen del cuerpo aparecen en todos los términos de modo que los puedo suprimir.

ρ_cpo — ρ_cpo . 0,5 = ρ_H20 . 0,75

ρ_cpo . ( 1 — 0,5) = ρ_H20 . 0,75

ρ_cpo = ρ_H20 . 0,75 / 0,5

ρ_cpo = ρ_H20 . 1,5

ρ_cpo = 1.000 kg/m³ . 1,5

No sólo me contuve de decir cuánto valía el peso del cuerpo, también evité calcular el volumen. ¿Hago bien o hago mal? ¿Qué te parece, y por qué?

DESAFÍO: ¿Qué ocurriría si el cuerpo tuviese una arista de 0,58 m?