2.17- Una pesa de 0,3 kg está suspendida del techo por un hilo de 1 m de longitud. Se la aparta de la posición de equilibrio, hasta que el hilo forme un ángulo de 37° con la vertical, y se la deja libre. Despreciando los rozamientos y la masa del hilo, determinar con qué velocidad pasará por el punto más bajo de la trayectoria, y la fuerza que soportará el hilo en ese instante. Hallar a qué distancia mínima del techo llegará al otro lado.

Trataremos en primer lugar de responder con qué velocidad pasa por B, la posición más baja. Elegí un SR de alturas tal que h_B es igual a cero, ¿te parece? Comparemos energéticamente A con B.

W_FncAB = ΔE_MAB

Las únicas fuerzas que actúan durante este proceso son el peso, P, que es conservativa y la que realiza la cuerda, T, que estoy muy tentado de decirte que también es conservativa, pero no lo voy a hacer para no entrar en polémicas. Pero de todos modos su trabajo a lo largo de toda oscilación es nulo, ya que permanentemente forma un ángulo de 90 grados con el desplazamiento. Por todo lo dicho, el primer miembro de la ecuación vale cero.

0 = ΔE_MAB

E_MA = E_MB

E_CA + E_PA = E_CB + E_PB

½ m v_A² + m g h_A = ½ m v_B² + m g h_B

la frase " y se la deja libre" quiere decir que v_A es cero. Y la elección del SR permite hace de h_B otro tanto. Entonces

m g h_A = ½ m v_B²

Esto se va simplificando demasiado. La masa se cancela (no deja de sorprenderme que el movimiento de los péndulos sea independiente de la masa)

g h_A = ½ v_B²

Hasta acá tenemos una ecuación, bastante sencilla, pero con dos incógnitas. Una de ellas, v_B , no nos extraña, porque es la que estamos buscando; pero la otra, h_A , podemos expresarla en función de algunos datos del problema que todavía no utilizamos: el ángulo de apartamiento de la vertical y la longitud del hilo. Mirá este grafiquito.

g L . (1 — cos α) = ½ v_B²

Ahora sí, despejamos nuestra incógnita

v_B = [2 g L . (1 — cos α)]^½

Una vez más te repito: habrás notado que hasta ahora no reemplacé ni un sólo número.

Para responder la última pregunta, hay que saber hasta dónde sube del otro lado, punto que llamé C. Lo comparo energéticamente con A.

E_MA = E_MC

E_CA + E_PA = E_CB + E_PC

½ m v_A² + m g h_A = ½ m v_C² + m g h_C

Si C es la máxima altura a la que llega, v_C es cero. Luego

m g h_A = m g h_C

h_A = h_C

Me lo temía... ya que estamos frente a un problema absolutamente conservativo. Y también α_A es igual a α_C . Ojo, que nos piden la distancia al techo, que es L menos h (no pienso explicártelo, ni menos que menos calcularlo).