NO ME SALEN
APUNTES TEORICOS DE FÍSICA DEL CBC
(Leyes de conservación)

 

TRABAJO de la FUERZA PESO

La fuerza peso (el nombre vulgar que le damos a la fuerza gravitatoria cuando se ejerce cerca de la superficie de la Tierra) es el arquetipo de las fuerzas conservativas, aquellas en las que el trabajo no depende de la trayectoria sino de las posiciones inicial y final exclusivamente.

Vamos a calcular su trabajo cuando se está aplicada sobre un cuerpo que se desplaza desde el punto A hasta el punto B (dos posiciones cualesquiera del espacio).

Vamos a hacer el cálculo para varios caminos diferentes. Primero por este camino que llamaremos 1 (1WP).

 

Y los vamos a particionar en dos: el trabajo que hace desde A hasta C, más el trabajo desde C hasta B, donde C es un punto que esta al mismo nivel que A y en la misma vertical que B.

1WP = WPAC + WPCB

El trabajo de la fuerza peso desde A hasta C es nulo, porque el peso es vertical y el desplazamiento es horizontal, de modo que durante el viaje AC la fuerza y el desplazamiento forman un ángulo de 90°.

   

Si a la diferencia de alturas entre C y B la llamos Δy, nos queda:

1WP = 0 + P Δy cos 180°

1WP = — m g Δy

Ahora probemos por un camino alternativo: nuevamente trayectorias rectas, esta vez pasando por el punto D, que se halla en la misma vertical que A y al mismo nivel que B. A este camino lo llamaremos 2, y , nuevamente, particionamos:

   
 

2WP = WPAD + WPDB

El razonamiento es idéntico al del camino anterior, esta vez es el segundo tramo en el que el trabajo vale cero.

2WP = P Δy cos 180° + 0

Donde Δy es la misma diferencia de alturas que en el camino anterior, ya que AD = CB.

   

Por lo tanto:

2WP = — m g Δy

El mismo resultado que por el camino 1. Probemos ahora por el camino más corto y directo entre A y B, o sea por la recta que los une. A este camino lo llamaremos 3, y al segmento AB, Δz.

   
 

³WP = P Δz cos γ

Si observás con detenimiento a ángulo γ, coincidirás conmigo en que es igual a la suma de α + 90°, donde α es el ángulo BAC.

Vos no tenés por qué acordarte de esta relación entre funciones trigonométricas... pero acá se trata de una relación que vamos a precisar:

cos (α + 90°) = sen α

   

Entonces:

³WP = P Δz sen α

Pero Δz sen α es igual a Δy. Con lo que llegamos al mismo resultado que en los caminos anteriores.

³WP = — m g Δy

Todo esto no quiere decir mucho, ya que los tres caminos elegidos hasta ahora son bastante particulares y arbitrarios. Probemos por un camino totalmente diferente, una curva cualquiera que una A con B. A este camino lo llamaremos 4.

   
 

4WP = P Δs cos ...

¡Epa!... no podemos usar esa definición de trabajo... ¡porque el ángulo que forma el peso con el desplazamiento no es constante! ya que acabamos de elegir una trayectoria curvilínea, que va cambiando de dirección, mientras que la fuerza peso se mantiene incólumne, vertical.

Pero podemos valernos de esta triquiñuela, que no es otra cosa que hacer lo mismo que hicimos en los dos primeros caminos: particionemos el trabajo en n segmentos.

   
Tomemos la precaución de que la partición sea lo suficientemente grande (muchas porciones suficientemente pequeñas) como para que cada porción de curva de desplazamiento se asemeje lo más posible a un segmento recto.    
   

        4WP = 4,1WP + 4,2WP + 4,3WP + ... + 4,nWP

        4WP = P Δs1 cos γ1 + P Δs2 cos γ2 + P Δs3 cos γ3 + ... + P Δsn cos γn

Cada uno de esos segmentos es equivalente al caso del camino 3, o sea, sin importar cuánto valga αi el resultado va a ser el mismo: P Δsi cos αi = P Δyi

 4WP = — P Δy1 P Δy2 P Δy3 ... — P Δyn

Sacamos factor común P en todos esos términos...

4WP = — P (Δy1 + Δy2 + Δy3 + ... + Δyn)

Y la suma de todas las pequeñas diferencias de altura de cada porción de desplazamiento no es otra cosa la la diferencia de altura total entre A y B, o sea, Δy.

4WP = — m g Δy

Como este no fue un camino en particular si no uno cualquiera, entonces ahora sí podemos generalizar y decir que el trabajo de la fuerza peso entre un par de posiciones cualesquiera vale siempre lo mismo independientemente de cuál haya sido la trayectoria entre esas dos posiciones.

Si recordamos que Δy = (yB yA), y llamamos energía potencial gravitatoria en A, EPA, al producto m g yA; y lo mismo para B, y nos queda:

   
 

WP,AB =(m g yB m g yA)

WP,AB =ΔEpg,AB

 
   
Siempre el mismo resultado, ¡independiente de la trayectoria!    

CHISMES IMPORTANTES:

   
  • Si te parece medio trucho transformar una curva en una sucesión de segmentos rectos, podés imaginar segmentos mucho más chiquitos. Y así... te corro. El análisis matemático te demuestra que el error que cometés al tomar segmentos impensablemente cortos es nulo.
  • Escribir m g yB o m g hB es lo mismo. Pero recordá que las alturas se definen siempre de esta manera: lo que está más arriba tiene un número mayor. O sea: el Sistema de Referencia de alturas debe apuntar hacia arriba, no importa dónde coloques el cero.
   

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

   
  • Si la energía potencial gravitatoria de cualquier cuerpo depende del Sistema de Referencia que elija, o sea, de dónde se coloca el cero de las alturas, ¿por qué eso no afecta a las Leyes de conservación ni a los teoremas de trabajo?
  • Cuanto valdrá el trabajo de la fuerza peso sobre una avioneta de 600 kg. que sale volando de un aeródromo realiza tres vuelos verticales, 8 loops, 6 caídas libres, 2 tirabuzones, 5 zig-zags y regresa al mismo aeródromo del que partió?
 

 
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