Algunos de los datos de este ejercicio son valores históricos reales
y otros fueron dimensionados por el autor.

Este ejercicio puede parecerte difícil, inexpugnable, atroz... de lo que no cabe duda es que se trata de un problema boludo. Y eso que los físicos consideran a este experimento uno de los 10 más brillantes de la historia de la ciencia. Primero te hago un esquema del dispositivo de Henry Cavendish... y seguimos charlando: la historia en torno a este experimento es alucinante.

Además tenía un espejo pegado en el que se hacía rebotar un rayo de luz. Si el cable -y su espejo pegado- giraban un pequeño ángulo, éste podía ser observado mediante el corrimiento del haz de luz.

Estando el dispositivo así listo, se acercaban a las esferas pequeñas otras dos mucho más grandes y se dejaban fijas.

Bueno, vamos a resolver el ejercicio, todavía quedan muchas dificultades que charlar. Como la que se desplaza es la bola chica (las dos bolas chicas, en realidad) vamos a realizar el diagrama de cuerpo libre de ésta (acá representé un par visto desde arriba).

Las fuerzas verticales no las representé porque no interesan en este asunto y se cancelan entre ellas. La fuerza gravitatoria es igual a:

F_G = G . M . m / d²

donde G es la constante de gravitación universal, M es la masa de la bola grande, m es la masa de la bola chica y d es la distancia que separa los centros de masa del par bola grande/bola chica.

La fuerza de torsión es igual a:

F_T = κ . Φ / L

donde κ es el módulo de torsión, Φ es el ángulo girado (en radianes) y L es el largo de la varilla. No es frecuente que los estudiantes manejen el concepto de módulo de torsión, sobre todo si no vieron antes estática del cuerpo extenso y sus tópicos momento de una fuerza y cupla. De todos modos no es un concepto que no puedas localizar en internet y aplicarlo aún sin haberlo profundizado. Se trata de una característica de los cables y alambres equivalente a la constante elástica de los cuerpos elásticos, sólo que en vez de describir la deformación en una dimensión lineal (acortamiento o estiramiento) describe la deformación elástica de retorcimiento que, lógicamente, se mide en radianes. En nuestro alambre vale κ = 0,0034 Nm.

Igualamos ambas expresiones:

G . M . m / d² = κ . Φ / L

De ahí despejamos G y lo calculamos:

G = κ . Φ . d²/ M . m . L

G = 3,4 x 10^-3 Nm . 1,17 x 10^-4 . 0,04 m² / 175 kg . 0,75 kg . 1,82 m

Primera cuestión: fijate que el ángulo de 1,17 x 10^-4 radianes se corresponde con 0,0067 ^o (grados sexagesimales), algo casi imperceptible que, amplificado por un rayo de luz que proyecta su imagen a 4 metros del espejo, nos da un desplazamiento de 0,468 milímetros... ¡Cavendish observaba los desplazamientos de la imagen con un microscopio!

Segunda cuestión: el módulo de torsión de un alambre se mide fácilmente observando el período de oscilación de la varilla en torno a una posición de equilibrio. A su vez, las posiciones de equilibrio son tan sutiles que hay que medirlas en torno a múltiples oscilaciones. Por eso Cavendish promediaba las oscilaciones de dos posiciones: una que provocaba poniendo las bolas grandes de un lado de las chicas y la otra colocándolas del lado contrario. Los cambios de emplazamiento de las bolas grandes los efectuaba operando mecánicamente el dispositivo desde afura, ya que todo se hallaba completamente cerrado a cubierto de la más mínima corriente de aire.

Tercera cuestión: Cavendish no midió G sino la masa de la Tierra que era lo que perseguía (esa historia te la cuento acá). Ese era otro dato que los físicos y astrónomos de la época buscaban afanosamente. Y Cavendish la obtuvo: M_T = 5,96 x 10²⁴ kg. Encontrado ese valor, la aceleración de la gravedad (g = 9,81 m/s²) y el radio terrestre (R_T = 6,37 x 10⁶ m), se obtiene G:

G = g . R_T² / M_T

Pero no sabemos quién fue el primer físico en darse cuenta y hacer el cálculo.

DESAFIO: ¿Cuánto vale la fuerza gravitatoria medida en el experimento?