NMS 4.10 - Un satélite de masa m = 100 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra. En una de sus revoluciones cruza sobre el ecuador a las 15 h. y luego pasa encima del polo sur a las 15.30 h. Considere la masa de la Tierra como M_T = 6 x10²⁴ kg, su radio como R_T = 6.370 km, y G = 6,7 x10^-11Nm²/kg².
   a) Hallar la altura h de la órbita respecto de la superficie terrestre.
   b) Hallar la velocidad de traslación del satélite.

De este ejercicio ya tenés uno muy parecido en el nro. 39. En la corrección del examen nos dimos cuenta que había sido uno de los más difíciles. ¿Sería la dificultad que presentan los sutiles cambios en la reformulación del ejercicio? ¿Sería las dificultades adicionales? ¿Será la operación con cantidades enormemente grandes o enormemente pequeñas? voy a tratar de resolverlo haciendo fuerte hincapié en esas sospechas que me estoy formulando.

R_O = R_T + h

No tiene sentido trabajar todo el ejercicio con el binomio R_T + h... es mucho más práctico y sencillo trabajar con R_O y dejar el despeje de h (la pregunta del ejercicio) para el último paso.

Lógicamente, para hacer operaciones algebraicas vamos a tener que homogeneizar las unidades. Eso obliga a expresar el período en segundos. Y recordando que una hora tiene 60 minutos, y cada minuto 60 segundos resulta que:

τ = 7.200 s

Bueno, ya es hora de que arranquemos con la Física. La Ley de Gravitación Universal nos asegura que:

F_G = G . M . m / R_O²

donde F_G es la única fuerza que obra sobre el satélite, M es la masa de la Tierra, m es la del satélite, R_O es la distancia que separa los centros de masa de ambos cuerpos, y G la Constante de Gravitación Universal.

Además, la 2da. ley de la dinámica a la cual el satélite no puede escapar, afirma que

F_G = m a_C

Como el enunciado ofrece informes sobre el período, de todas las expresiones equivalentes para aceleración centrípeta vamos a elegir aquella que la vincula con el período, a_c = 4π² . R / τ², donde R no es otro que R_O, el radio de la ciercunferencia en la que está girando. Y queda así:

F_G = m 4π² . R_O / τ²

Como ambas expresiones hablan de la misma fuerza, podemos igualarlas:

G . M . m / R_O² = m 4π² . R_O / τ²

La masa, m, del satélite se cancela, porque aparece multiplicando en ambos miembros (son todos factores, no hay sumas). Y de ahí despejamos R_O que es el factor que contiene nuestra incógnita h.

T² G . M . = 4π² . R_O³

R_O³ = (G . M / 4π²) τ²

Lo que ves ahí es una de las formas en las que habitualmente se presenta la Tercera Ley de Kepler: los cubos de los radios de órbita son proporcionales a los cuadrados de los períodos de órbita. Y lo que ves dentro del paréntesis son todas constantes que el enunciado proporcionaba, excepto al famoso pi. Hagamos la cuenta:

R_O³ = (6,7 x10^-11 Nm²/kg² . 6 x10²⁴ kg /39,5) 5,18 x10⁷ s²

R_O³ = 5,27 x10²⁰ m³

Qué números terribles, ¿no? No podés llorar, tenés calculadora científica. Kepler los hizo a lápiz. Sacale la raíz cúbica a ese número.

R_O = 8,08 x10⁶ m

O sea... unos 8 mil kilómetros del centro de la Tierra. Averiguemos h.

h = R_O — R_T

h = 8,08 x10⁶ m — 6,37 x10⁶ m

El ítem b) era casi un regalo, muchos pifiaron porque nunca habian escuchado ni leído velocidad de traslación. Mmmm... Eso es falta de estudio, de lectura, de práctica. Velocidad de traslación (su mismo nombre lo indica) es la velocidad a la que se translada el satélite, la velocidad tangencial, la velocidad lineal, la velocidad instantánea, mirá cuántos nombres podemos darle. Es la velocidad común y corriente que todo el mundo interpreta cuando escucha la palabra velocidad, v, la que se mide en m/s, o en km/h, o en cualquier otra unidad de longitud dividida cualquier unidad de tiempo.

v = ω . R

Donde R es el radio de giro, o sea R_O. Y ω es la velocidad angular, o sea 2π/T. Si hacés las cuentas (hacelas con la calculadora, no a lápiz) obtenés: