NO ME SALEN
PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA DEL CBC
(Gravitación)

 

¡no me salen!

NMS d4.09 - Para un satélite 2 que está al doble de distancia del centro de la Tierra que otro satélite 1 de igual masa, se cumple que:
       a) tiene doble período (T2 = 2 T1)
       b) tiene el doble de energía cinética (Ec2 = 2 Ec1)
       c) la aceleración centrípeta es la mitad (a2 = a1/2)
       d) tiene un período tal que (T2)² = 8 (T1)²
       e) tiene el doble de velocidad (V2 = 2 V1)
       f) tiene triple período (T2 = 3 T1)

Qué lindo... otro ejercicio de tipo gastronómico. Ok, empecemos por los DCL.

Los puntitos rojos son los satélites. Son rojos porque son satélites espías rusos. Las flechitas verdes representan las fuerzas de atracción gravitatoria sobre cada satélite. Sobre el satélite 1 la fuerza es mayor (cuatro veces mayor) porque está el doble de cerca que el 2.

Lo importante para resolver el ejercicio son las relaciones que indica el enunciado:

m1 = m2 = m

2 R1 = R2

Y con eso alcanza.

   

No hay más remedio que verificar una a una cada afirmación del enunciado. De modo que, para cada ítem, buscaremos las relaciones correctas entre las magnitudes a las que cada uno se refiera. Para ambos satélites se verifica por separado la 2da. Ley de la Dinámica:

FG = m . ac

donde m es la masa del satélite y ac su aceleración centrípeta. Y también la Ley de gravitación universal:

FG = m . GM/R²

donde G es la Constante de Gravitación Universal, M es la masa de la Tierra, y R es el radio de la órbita del satélite. Como está claro que estoy hablando de la misma fuerza, puedo igualar las ecuaciones:

m . ac = m . GM/R²

Y también puedo cancelar la masa del satélite cuando lo necesite:

ac = GM/R²

Esto vale para ambos satélites, claro está... y lo vamos a ir modificando para cada requerimiento. Por ejemplo: los ítems a), d) y f) relacionan el período, T. Busquemos la relación correcta.

En lugar de escribir aceleración centrípeta voy a usar una de sus expresiones equivalentes. Esta, mirá, ac = 4π² . R / T².

4π² R / T² = GM/R²

(4π²/ GM) R³ = T²

Esto vale para los dos satélites. Te lo hago explícito:

(4π²/ GM) = T1²/ R1³

(4π²/ GM) = T2² / R2³

Lo escribo en una sola ecuación para poder relacionarlos:

T1²/ R1³ = T2² / R2³

Ahora, usando la relación entre los radios, 2 R1 = R2

T1²/ R1³ = T2² / (2 R1)³

T1²/ R1³ = T2² / 8 R1³

T1² = T2² / 8

   
  8 . T1² = T2² d) es verdadera
   
Hacemos la raíz cuadrada de ambos miembros, y vemos claramente que...    
  2,83 . T1 = T2 a) y f) falsas
   

Vamos con el ítem b), que habla de la energía cinética. Acordate que la energía cinética es igual al producto ½ m v². Ahora usemos la expresión de aceleración centrípeta siuiente: ac = v²/R. Entonces, la ecuación para cualquier satélite queda así:

m v²/R = m GM/R²

m v² = m GM/R

½ m v² = ½ m GM/R

Ec = ½ m GM/R

En particular:

Ec1 = ½ m GM/R1

Ec2 = ½ m GM/R2

De nuevo, usando la relación entre los radios, 2 R1 = R2

Ec2 = ½ m GM/2 R1

   
  Ec2 = ½ Ec1 b) es falsa
   

Vamos con el ítem que habla de la aceleración centrípeta, el c).

ac1 = GM/R1²

ac2 = GM/R2²

Una vez más, usando la relación entre los radios, 2 R1 = R2

ac2 = GM/(2 R1

ac2 = GM/4 R1²

   
  ac2 = ¼ ac1 c) es falsa
   

Y todavía nos queda el ítem e), que habla de las velocidades.

v1² = GM/R1

v2² = GM/R2

Por última vez, usando la relación entre los radios, 2 R1 = R2

v2² = GM/2R1 = ½ GM/R1

v2² = ½ v1²

   
  v2 = 0,707 v1 e) es falsa
   
     
DESAFIO: ¿Cómo se llama la relación entre los períodos y los radios de órbita de los cuerpos satélites?  
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