El formato básico de este ejercicio ya esta resuelto acá. Esta versión mucho más refinada tiene la virtud de integrarse con cinemática. Aunque conviene que hayas resuelto el otro, vamos a proceder con este desde cero. Lo primero, entonces son los DCLs.

Si estamos de acuerdo continuamos. Ahora viene Newton

Cuerpo 1, ΣF_x = m a_x      →        S — P_1x = m₁  . a

Cuerpo 2, ΣF_x = m a_x      →        P₂ —  S = m₂  . a 

La ecuación proveniente de la sumatoria de fuerzas en y para el cuerpo 1 no aporta información relevante para este problema, así que ni la voy a escribir.

Si sumo miembro a miembro las dos ecuaciones tengo...

S — P_1x + P₂ — S = m₁ . a + m₂ . a

P₂ — P₁ . sen α = a . (m₁ + m₂)

g . m₂ — g . m₁ . sen α = a . (m₁ + m₂)

g . (m₂ — m₁ . sen α ) = a . (m₁ + m₂)

que es lo mismo que habíamos obtenido (con otros nombres) en el ejercicio 33. En este ejercicio tenemos que m₁ = 9 m₂

a = g . ( m₂ — 9 m₂ . sen α ) / (9 m₂ + m₂)

a = g . m₂ (1 — 9 sen α ) / 10 m₂

a = g . (1 — 9 sen α ) / 10

Intercambiando los cuerpos de lugar obtendremos una expresión similar, con los subíndices intercambiados, que corresponderá a una aceleración diferente, que llamaré a'.

a' = g . ( 9 — sen α ) / 10

El enunciado del ejercicio no compara las aceleraciones de ambas situaciones, pero compara los intervalos que tarda el cuerpo sobre el plano inclinado en recorrerlo íntegro... es lo mismo. La relación entre aceleración e intervalo es:

ΔX = ½ a T²        y         ΔX = ½ a' T'²

El desplazamiento es el mismo en ambos casos, de modo que:

½ a T² = ½ a' T'²

a T² = a' T'²

donde T' = T/4, y consecuentemente T'² = T²/16. Si reemplazo esto en la expresión anterior obtenemos:

a' = 16 a

Ahora reemplazo las aceleraciones por las expresiones que obtuvimos antes:

g . (9 — sen α ) / 10 = 16 . g . (1 — 9 sen α ) / 10

(9 — sen α ) = 16 (1 — 9 sen α )

9 — sen α = 16 — 144 sen α

143 sen α = 7

sen α = 7 / 143

Maratónico.