NO ME SALEN
PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA DEL CBC
(Gravitación)
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FIS 69 (d4.02) - Calcular la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una órbita circular de 150
millones de kilómetros de radio. ¿Cuál es el módulo de la velocidad con la cual la Tierra gira
alrededor del Sol?
Me encantan los problemas de tipo gastronómico. Ok, empecemos por el DCL. |
| No vas a negar que es bonito... casi un huevo frito. Bueno, mirá el problema en sí mismo es facilísimo (pan comido). Te puse muchos chiches en el DCL, pero lo que importa es que hay una y solo una fuerza actuando sobre la Tierra (que es el cuerpo del DCL) y esa fuerza es la fuerza gravitatoria con la que el Sol la atrae. Es FG, la que te dibujé en rojo, y es la única flechita cuyo origen puse dentro de la figura de la Tierra. |
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Es un esquema. Por lo tanto no está a escala. Si fuese hecho a escala la representación tanto del Sol como de la Tierra serían diminutos puntitos. |
El resto de los chiches los puse para aprender un poco aprovechando la movida. Mirá: te dibujé la aceleración de la Tierra (en su movimiento de translación alrededor del Sol) que obviamente es de tipo centrípeta; la velocidad tangencial, y el radio de la órbita.
No hay demasiado secreto... de esa única fuerza que actúa sobre la Tierra qué cosas podemos decir, a ver: que obedece a la 2da. ley de Newton, y que por ser gravitatoria responde a la Ley Universal. Te las escribo:
FG = mT . ac
FG = G . mT . MS / R²
Como está claro que estoy hablando de la misma fuerza, puedo igualar las ecuaciones, ¿no? En lugar de escribir aceleración centrípeta voy a usar alguna de sus expresiones equivalentes. Voy a elegir alguna que hable del período, T, porque es uno de los datos del enunciado. Ésta, mirá, ac = 4π² . R / T² |
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en una noche hermosa
brillaba el Sol
y los chanchos volaban
de flor en flor
(?) |
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mT . 4π² . R |
= |
G . mT . MS |
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| T² |
R² |
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| mirá qué bueno... la masa de la Tierra, mT, se puede cancelar, y R es simultáneamente la distancia desde los centros de los cuerpos, el radio de giro y el radio de órbita (qué novedad), la cuestión es que se pueden juntar. |
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| Me parece que son todos datos o constantes menos una... la masa del Sol. Pelito. |
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| Antes de ponerte a hacer la cuenta no te olvides de pasar todas las cantidades a unidades internacionales (viste), o sea kg, m y s, que G = 6,67.10-11 Nm²/kg² y que el período vale 365 días, o sea T = 31.536.000 s = 3,15 .107 s |
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| MS = |
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4π2 (1,5 .1011 m)3 |
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| (3,15 .107 s)2 (6,67.10-11 Nm²/kg²) |
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MS = 2 . 1030 kg |
queda Sol para rato |
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O sea: 2.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 (dos quintillones) de kilos.
Para saber la velocidad de la Tierra, nos remitimos un ejercicio de cinemática. Acá tenemos la relación fundamental entre la velocidad lineal y la angular:
v = R ω
v = R 2π/ T
v = 1,5 .1011 m 2π/ 3,15 . 107 s
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DISCUSION: También podríamos haber hecho este despeje:
R³= T² (G MS/ 4π²)
Todo lo que está en el paréntesis es constante, lo que significa que el cuadrado de los períodos de los planetas son proporcionales al cubo de sus radios, antigua ley descubierta por el fanático y obsesivo Johannes Kepler del cual tendría que hablarte un poco más seguido. |
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| DESAFIO: Kepler llegó a esta (y otras) magníficas conclusiones haciendo cuentas y más cuentas con todos estos números astronómicos. Y no tenía calculadora de ningún tipo, salvo la de neuronas. Ni tampoco el valor de las constantes. Con la notación exponencial no es difícil... más bien es una pavada... Pero vos no te vas a dar cuenta de eso hasta que no lo pruebes una vez en tu &%$# vida. Hacélo, te aseguro que el desafío que te planteo es importante, importantísimo. Hacélo, te juro que es fácil, a veces más fácil que la misma calculadora. Sólo lápiz palel y notación científica. Calculá el valor de la constante del sistema solar: (4π²/ G MS) |
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| Algunos derechos reservados.
Se permite tu reproducción recitando en la fuente. Agradezco a Juan Manuel Rolón por el envío de una errata. Última actualización set-06. Buenos Aires, Argentina. |
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