Este ejercicio tiene otras tres preguntas más sencillas, y la última -que se resuelve acá- requiere de análisis matemático.

El problema es que hay varias cosas que no se pueden calcular directamente: la resistencia del medio, R, depende de la velocidad, y no sabemos cuánto vale la velocidad a los 2 segundos... Y la aceleración depende de esa fuerza que todavía no sabemos cuánto vale. De modo que necesitamos las ecuaciones de movimiento, o sea: posición en función del tiempo, velocidad en función del tiempo y aceleración en función del tiempo. Si logramos eso luego bastará con reemplazar el tiempo por 2 s y listo.

m . a_(t) = F_N − R_(v)

despejemos la aceleración:

a_(t) =  (F_N / m ) − ( R_(v) / m )

Acordate que R_(v) = k . v. Reordenemos llevando al primer miembro las variables:

a_(t) + (k/m) v_(t) = F_N/m

Podemos escribir la aceleración como la derivada de la velocidad. Nos queda una ecuación de tipo:

v'_(t) − B v_(t) = D

En la  que B y D son constantes. A esto se llama ecuación diferencial (al menos una de las variables es derivada de la otra). Y tiene una solución típica que podés encontrar en varios lados o pedirla en un programa de cálculo diferencial. La solución es ésta:

v_(t) = A e^Bt + C

En la que A, B y C, son constantes que podés calcular haciendo t=0. Podés chusmear la primera parte de este ejercicio y recordar que en el instante t=0 tenemos:

a_(0s) = 6,67 m/s²
v_(0s) = 0

y supongamos también que (elección del SR)

x_(0s) = 0

de lo que surge que B es la constante que ya definí antes y A es igual a -C como expreso a continuación:

A = − F_N / k = − 10 m/s
B = − k / m = − 0,667 s^-1
C = F_N / k = 10 m/s

La función velocidad la derivamos para obtener la de aceleración y la integramos para obtener la de posición:

x_(t) = A.B^-1 e^Bt + A t − A.B^-1
v_(t) = A e^Bt + C
a_(t) = A B e^Bt

Reemplazando las constantes:

x_(t) = − 10 m/s . 1,5 s . e ^{(-0,667/s) t} + 10 m/s t − 15 m
v_(t) = − 10 m/s . e ^{(-0,667/s) t} + 10 m/s
a_(t) = 10 m/s . 0,667 s^-1 . e ^{(-0,67/s) t}

Y ahí tenemos las tres ecuaciones horarias, posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Ahora las especializamos para el instante 2 s...

x_(2s) = − 10 m/s . 1,5 s . e ^{(-0,667/s) 2s} + 10 m/s 2 s − 15 m
v_(2s) = − 10 m/s . e ^{(-0,667/s) 2s} + 10 m/s
a_(2s) = 10 m/s . 0,667 s^-1 . e ^{(-0,667/s) 2s}

Y obtenemos:

Hagamos los gráficos (no dejes de hacerlos vos en algún programa de cálculo). Veremos que podemos sacarle mucho provecho.

Analicemos el gráfico de posición. Al alcanzar la velocidad límite el movimiento se hace constante y el resultado es una recta oblicua. Como ves esa recta oblicua (cuya pendiente vale 10 m/s) se alcanza rápidamente. Y la recta punteada representa justamente la posición que habría tenido la piedra si hubiese arrancado directamente con la velocidad límite.

A tiempos infinitos (así hablan los físicos, pero vos tenés que entender: a tiempos suficientemente grandes...) ambas graficas se hacen paralelas y su diferencia vale 15 m, que es justamente lo que hay que restarle a las posiciones en el último término de la ecuación horaria.