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NO ME SALEN
PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
(Movimiento relativo)

  

manolito

NMS c7.12- Un piloto de un avión desea volar a una ciudad 400 km al NO de su origen. Si sopla un viento de 50 km/h en dirección SSO y el avión puede volar a 250 km/h (respecto al aire), ¿en que dirección debe ponerse el avión para el viaje y a qué velocidad viaja?

Este ejercicio de movimiento relativo tiene incluye la dificultad de que los vectores velocidad no son unidireccionales ni forman 90 grados dos de ellos cualquiera. De modo que el triángulo que se forma con su suma (o su resta) no es rectángulo y no podés valerte del teorema de pitágoras. Se nos veda la resolución geométrica. En horabuena.

Su dificultad física ya fue planteada en el ejercicio anterior y te conviene resolver primero ése.

Mirá estos esquemitas que nos muestran el vuelo del avión en la dirección NO (noroeste).

No sabemos cuánto vale esa velocidad, seguramente menos de 250 km/h. Pero sí sabemos que si el piloto es experto (todos lo son) colocará la nariz del avión en una dirección diferente (volará hacia otro lado) de forma tal que la acción del viento lo lleve directamente y en línea recta hacia su destino que se halla exactamente al NE de su partida.

Por lo tanto la velocidad del avión -valga lo que valga- tendrá la misma dirección que su desplazamiento y llegará felizmente a destino.
   
Según el código de colores que vengo utilizando en estos ejercicios a la velocidad del móvil respecto del sistema fijo le toca el verde, y la llamaré VAT. Y queda claro que forma un ángulo de 45 grados con el eje E-O. Veamos qué pasa con el viento.    

El viento apunta hacia el SSO (sur-suroeste), o sea, su dirección forma un ángulo de 67,5 grados con la dirección O-E (justo en la bisectriz entre S y SO, o sea: 45 más la mitad de 45).

Sabemos que el módulo de esa velocidad es de 50 km/h. La voy a llamar VVT. (por: velocidad del viento medido desde la Tierra)
   
Con esos dos vectores podemos formar el triángulo suma vectorial. Y teniendo en cuenta que la velocidad del avión respecto de aire, VAA, es 5 veces mayor que la del viento (250 km/h), nos queda una cosa parecida a ésta.    

Según la ley de adición de velocidades de Galileo, podemos asegurar que:

VAA + VVT = VAT

Disculpá que no tengo flechitas para destacar el carácter vectorial de esa suma. Para resolverla tendremos que descomponer esas velocidades en sus direcciones E-O (x) y S-N (y).

De modo que tendremos dos sumas en lugar de una:

VAAx + VVTx = VATx

VAAy + VVTy = VATy

Si llamamos α al ángulo que la velocidad del avión respecto del aire forma con el eje x, las dos sumas quedan así:
   

VAA cos α + VVT cos 67,5° = VAT cos 45°

VAA sen α — VVT sen 67,5° = VAT sen 45°

Reemplacemos el resto de los datos a ver qué queda (te lo hice en dos pasos para que no te pierdas):

250 km/h cos α + 50 km/h cos 67,5° = VAT cos 45°

250 km/h sen α — 50 km/h sen 67,5° = VAT sen 45°

Como ves, en definitiva tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, y esto tiene solución. Yo te lo hago. Voy a reemplazar los senos y cosenos por sus identidades numéricas y efectuar los productos que pueda.

250 km/h cos α + 19,13 km/h = VAT 0,707

250 km/h sen α — 49,19 km/h = VAT 0,707

Ya que los segundos miembros son iguales, igualemos los primeros...

250 km/h sen α — 49,19 km/h = 250 km/h cos α + 19,13 km/h

250 km/h sen α = 250 km/h cos α + 68,32 km/h

250 km/h sen α — 250 km/h cos α = 68,32 km/h

Operando un poco para simplificar las cosas:

sen α — cos α = 0,273

Elevo ambos miembros al cuadrado y recuerdo que sen² α + cos² α = 1 (esa es la famosa relación pitagórica).

1 — 2 sen α cos α = 0,074529

2 sen α cos α = 0,925471

Ahora uso la relación trigonométrica que dice que: sen 2α = 2 sen α cos α. Yo sé que vos no tenés por qué tener estas relaciones memorizadas... pero ahora, con internet, tampoco tenés excusas.

sen 2α = 0,925471

2α = 67,74°

Eso es lo que te dice la calculadora... Pero también...

2α = 112,26°

Que es su ángulo suplementario. Es este último valor el que nos interesa (de eso sólo podemos darnos cuenta analizando la situación física). Y por lo tanto:

    
 

α = 56,13°

 
   

Reemplazamos esto en ambas ecuaciones (para corroborar que llegamos al mismo resultado), la de x y la de y. Y así obtenemos la primera respuesta.

    
 

VAT = 224 km/h

 
   
Me lo suponía.    

DESAFIO: Rehacer suponiendo que la dirección del viento es NNE. Y predecir cualitativamente los resultados antes de obtenerlos.

   Ricardo Cabrera
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