¿Nada más?, OK, nos preparamos unos matecitos amargos (no existe otro tipo de mate)... Y esta vez no voy a hacer un esquema. El motivo es que nos piden tantas cosas... tantas... que el esquema quedaría un mamarracho. Además hay muchas situaciones sobre las que nos habla el enunciado que no podemos predecir dónde localizarlas y lo más probable es que las situemos en lugares que no se correspondan con las correctas. (Eso no es nada grave, y es bastante común; el esquema aún así -errado- sigue siendo útil). Pero temo confundirte. En cambio, voy a aprovechar este ejercicio para machacarte la fecunda e importantísima idea de la ecuación horaria.

Si tenés los modelos de ecuación horaria de tiro vertical a mano:

y = y_o + v_o ( t – t_o ) + ½ g ( t – t_o )²

v = v_o + g ( t – t_o )

y reemplazás las constantes iniciales (que te dibujé en azul y que son decisiones tuyas)... nos quedan las ecuaciones horarias que describen todo el movimiento de nuestro objeto... y responden todas las preguntas del ejercicio. Tomemos el punto de partida como nivel cero (y_o= 0m), que arranca en el instante cero (t_o= 0s) con un sistema de referencia, SR, que apunta hacia arriba (g = – 10 m/s²). Hecho todo esto las ecuaciones horarias quedan así:

y = 30 m/s . t – 5 m/s² . t²

v = 30 m/s – 10 m/s² . t

Ahora podés preguntarles a las ecuaciones lo que quieras... ellas van a responder dócil y amablemente todas las preguntas que les hagas. Por ejemplo: querés saber cuáles son su altura y velocidad en el instante 2s... bien, donde dice t, colocá 2s... luego hacé la cuentita, y del otro lado del igual las ecuaciones te responderán cuánto valen esa altura, y_2s, y esa velocidad, v_2s.

y_2s = 30 m/s . 2s – 5 m/s² . 4s² = 60 m – 20 m

v_2s = 30 m/s – 10 m/s² . 2s = 30 m/s – 20 m/s

Ahora se te antoja saber cuáles eran las posiciones y velocidades en el instante 4s... procedés igual... las ecuaciones horarias nunca se cansan, siempre responden:

y_4s = 30 m/s . 4s – 5 m/s² . 16 s²

v_4s = 30 m/s – 10 m/s² . 4s

Viste que a los dos y a los cuatro segundos el objeto parece hallarse a la misma altura... tiene su lógica: todo lo que sube, baja. Vos confiá en las ecuaciones horarias... son unas ídolas. Preguntemos por el instante 8s...

y_8s = 30 m/s . 8s – 5 m/s² . 64s²

v_8s = 30 m/s – 10 m/s² . 8s

Las ecuaciones horarias son tan dúctiles que podés interrogarlas de la manera inversa: en lugar de preguntarles por una posición para un instante les preguntás en qué instante tal posición. Lo único que hay que tocar son las variables... no apretes ningún otro botón, porque cambiás la ecuación y pasa a describir otro movimiento -no el tuyo-; fijate. Te vuelvo a copiar las ecuaciones:

y = 30 m/s . t – 5 m/s² . t²

v = 30 m/s – 10 m/s² . t

Ahora queremos conocer el instante para la posición 0m... bien: donde dice y (en la primera ecuación) ponemos 0m... y la ecuación responde.

0m = 30 m/s . t_0m – 5 m/s² . t_0m²

Es una cuadrática incompleta, de modo que vamos a obtener dos respuestas. No es que la ecuación sea salame. Es que no tenemos otra forma de preguntarle. Si no te animás a obtener la respuesta solo, yo te ayudo. Saco factor común t_0m.

0m = t_0m . (30 m/s – 5 m/s² . t_0m)

Si el primer factor es cero, obtenemos la respuesta tonta: t_0m = 0. Si el segundo factor es el nulo, obtenemos la respuesta interesante:

0m = 30 m/s – 5 m/s² . t_0m

t_0m = 30 m/s / 5 m/s²

Y ya que estamos preguntémosle a la segunda ecuación qué velocidad tenía el objeto en ese instante.

v_0m = 30 m/s – 10 m/s² . 6s

Ahora vamos a preguntarle por la altura máxima del vuelo. Voy a llamar a ese instante M, ¿te parece? Fijate cómo pregunto:

y_M = 30 m/s . t_M – 5 m/s² . t_M²

v_M = 30 m/s – 10 m/s² . t_M

Para encontrar el instante buscado tenés que saber que en ese instante v_M = 0 m/s. Si no... fuiste. Acá, las dos ecuaciones deben trabajar juntas. De la segunda despejamos t_M, y lo que da lo metemos en la primera:

0 m/s = 30 m/s – 10 m/s² . t_M

t_M = 30 m/s / 10 m/s² = 3s

y_M = 30 m/s . 3s – 5 m/s² . 9s²

La última es la pregunta más difícil, pero a esta altura ya te diste cuenta de que la cinemática es una papa... todo el secreto está en armar correctamente las ecuaciones horarias, y amasijarlas a preguntas. Si querés saber en qué instante el objeto pasó por la posición 25m, bueno... donde dice y tendrás que escribir 25m y despejar el instante de tiempo correspondiente, que no será otro que t_25m.

25 m = 30 m/s . t_25m – 5 m/s² . t_25m²

Es una cuadrática completa. Hay que ordenarla, y usar la formulita de los griegos.

0 = – 25 m + 30 m/s . t_25m – 5 m/s² . t_25m²

Se obtienen dos valores posibles. En este caso los dos son útiles

Y ya que estamos le pedimos a la segunda ecuación que nos cuente qué velocidades tenía el móvil en esos instantes.

v_25m = 30 m/s – 10 m/s² . 1s

v'_25m = 30 m/s – 10 m/s² . 5s