Sí, ya sé... no te gustan los ejercicios kilométricos, a mí tampoco. Pero es lo que hay.

Si era cortito jugamos un poco, pero si es tan largo hagámoslo sencillo y elijamos un sistema de referencia con t₀ = 0, x₀ = 0, y₀ = 0, eje vertical hacia arriba.

Y arranquemos por aclarar ese geroglífico de los ángulos de disparo. Acordate que π representa un ángulo (en sistema radial) de 180 grados. De modo que π/8 es lo mismo que 22,5°. Por lo que tendremos cinco movimientos diferentes cada uno con una elevación de tiro diferente: α₁ = 22,5°, α₂ = 45°, α₃ = 67,5°, α₄ = 90°, α₅ = 112,5°.

Mirá el esquemita (es solo un esquema, no representé el valor exacto de los ángulos):

Vamos a las expresiones, como cualquier tiro oblicuo:

x = 5 m/s cos α t

y = 5 m/s sen α t – 5 m/s² t²

v_x = 5 m/s cos α

v_y = 5 m/s sen α – 10 m/s² t

a_x = 0 m/s²

a_x = – 10 m/s²

Vamos con el ítem c) y dejamos los gráficos para el final. Para calcular la altura máxima, M y el alcance, A para cada tiro podemos usar dos estrategias. La primera es la que ya conocés, le pedís a las ecuaciones que hablen de esos puntos y resolvés. La segunda es hallar una expresión genérica que te permita calcularlos en un solo paso. Esta opción, por principios, no debería enseñártela, pero en aras de la brevedad...

Hallemos la expresión de la altura máxima. Acordate que ahí la velocidad vertical se anula.

0 = 5 m/s sen α – 10 m/s² t_M

10 m/s² t_M = 5 m/s sen α

t_M = 0,5 sen α s

Eso lo metemos en la ecuación de alturas:

y = 5 m/s sen α t_M – 5 m/s² t_M²

y_M = 5 m/s sen α . 0,5 sen α s – 5 m/s² . (0,5 sen α s)²

y_M = 2,5 m sen² α – 1,25 m sen² α

y_M = 1,25 m sen² α

Para calcular el alcance hacemos algo parecido. Acordate que en el alcance la altura vale cero.

0 m = 5 m/s sen α t_A – 5 m/s² t_A²

5 m/s² t_A² = 5 m/s sen α t_A

5 m/s² t_A = 5 m/s sen α

t_A = sen α s

Eso lo metemos en la de posiciones horizontales:

x_A = 5 m/s cos α t_A

x_A = 5 m cos α sen α

Y nos acordamos de lo que le respondió Euclides a su esposa cuando lo echó de la casa:

cos α sen α = ½ sen 2α

De donde:

x_A = 2,5 m . sen 2α

Hagamos lo cálculos para cada uno de los ángulos que pide el ejercicio:

Como ves el alcance tiene un valor máximo ( que es este caso coincide con el ángulo de 45 grados). Bueno, eso ocurre siempre y se ve claramente en la expresión de alcance, ya que la expresión sen 2α que a lo sumo vale 1, alcanza ese valor cuando α vale 45°. En cambio la altura máxima se alcanza cuando la pelota se arroja verticalmente.

Resulta interesante hallar una expresión general para todo tiro oblicuo que se dispara a cualquier velocidad, v₀, y llega al mismo nivel. Se arriba a estas expresiones de la misma manera en que lo desarrollamos acá pero en lugar de escribir 5 m/s, escribís v₀. Y si no tenés ganas de gastar tinta lo podés ver en este otro ejercicio.

Los resultados a los que se arriba son éstos:

altura máxima        y_M = v₀² sen² α / 2g

alcance máximo      X_A = v₀² sen 2α / g

Por favor, fijate que incluye a nuestro caso de recién.

Con la tabla de valores que te hice allá arriba podés construir los gráficos que te piden. No dejes de hacerlo porque el análisis es muy rico. Y si sos un nerd hasta podés llegar al concepto de envolvente.

Desafío: ¿Cómo se llama la curva envovente de todas las trayectorias posibles con la misma velocidad inicial y diferentes ángulos?