Velocidad

No necesito explicarte qué es la velocidad. Esa característica de los movimientos tan descriptiva todo el mundo sabe qué es, aunque no seamos capaces de ponerle palabras. Nacemos con un módulo de física en el cerebro (es parte del instinto), y una de las herramientas de ese módulo es el concepto de velocidad. Lo que vos entendés por velocidad, eso es, no lo dudes.

Si necesitamos ponerle palabras, o fórmulas, no es tan sencillo... aunque es apasionante. Vamos a hacerlo de a poco, en etapas.

Velocidad media

En un primer paso podríamos decir que la velocidad es el cociente entre un desplazaniento cualquiera (una diferencia entre posiciones), y el tiempo insumido en ese desplazaniento. En una fórmula:

donde r₁ y r₂ representan las diferentes posiciones y t₁ y t₂ los instantes de tiempo correspondientes a cada posición.

Esa definición tiene una debilidad importante. Si uno calcula una velocidad de ese modo no puede asegurar que la velocidad no haya variado durante ese intervalo, mientras ocurre el desplazamiento. Podríamos decir que ese modo de formular la velocidad es una especie de promedio de las velocidades reales que tiene un móvil en cada momento. Entonces a la formulación anterior la llamaremos velocidad media, y la simbolizamos v_m. El único caso en que la velocidad media es la velocidad real de un móvil es cuando éste se desplaza sin cambiar su velocidad, o sea, en el movimiento rectilíneo uniforme, MRU.

Hagamos un alto. Porque ya que estamos acá podemos analizar cuáles son las unidades en las que habremos de medir las velocidades. Obviamente deberán corresponderse con el cociente entre una unidad de longitud y una unidad de tiempo. En el sistema internacional de medidas ellas son el metro, m, y el segundo, s.

Pero cualquier otro cociente entre unidades de longitud y tiempo es igualmente idóneo para medir velocidades. Tené cuidado que en el idioma español existe cierta ambigüedad con el vocablo por. Cuando decimos kilómetros por hora ese por no es multiplicación sino división.

Velocidad instantánea

Bueno, sigamos afinando la formulación de velocidad. Hasta ahora tenemos:

Y ya estás advertido que esa definición no representa la velocidad de un móvil instante por instante, la que podemos leer en el velocímetro del auto, sino una especie de promedio en un cierto lapso, y que no describe lo que pasa durante el lapso.

A esa velocidad real del móvil en cada instante la llamaremos (para distinguirla de la media) velocidad real o velocidad instantánea. Y podemos acercarnos (cuanto querramos) al concepto buscado tomando desplazamientos (o intervalos de tiempo) muy pequeños.

El análisis matemático propone una solución a este problema de tomar intervalos súper pequeños. Se trata de la operación límite, y básicamente dice que se puede operar con intervalos tan, pero tan pequeños que son casi nulos. En la jerga matemática: infinitésimos. La formulación es la que sigue:

Comparala con la formulación de la velocidad media, notarás que lo único que cambia es que tanto el desplazamiento como el intervalo de tiempo considerados son infinitamente pequeños.

Estas cantidades infinitesimales se llaman diferenciales y se las simboliza con una d minúscula. Entonces:

Ahora sí, disponemos de una definición exacta y sin ambigüedades de velocidad. Pero ya que estamos acá aprovechemos la oportunidad para observar algunas propiedades deslumbrantes de esta magnitud y del modo en que la definimos.

Derivada

Si sabés algo de análisis matemático (si no, no importa, yo te lo cuento) la definición de arriba (el límite tendiendo a cero del cociente incremental) no es otra cosa que la derivada. De donde podemos concluir que la velocidad es el derivada de la función posición (o, sencillamente: la velocidad es la derivada de la posición). En símbolos:

v = r'

Si el movimiento es unidimensional:

v = x'

De modo que la velocidad es la magnitud que describe los cambios de la posición, te dice si las posiciones cambian rápidamente o lentamente o no cambian. ¡Y eso es, justamente, lo que entendemos coloquialmente por velocidad!

Signo de la velocidad y rapidez

En los movimientos unidimensionales el signo de la velocidad indica si el móvil se desplaza en el sentido creciente de la escala de posiciones (velocidad positiva, movimiento de avance) o en el sentido decreciente (velocidad negativa, movimiento de retroceso). Llamamos rapidez al módulo de la velocidad.

Perplejidades

Pero hay algo más importante: fijate que cuando el intervalo de tiempo tiende a cero el desplazamiento también tiende a cero. O sea que el cociente dr/dt es del tipo 0/0. Esos límites podrían no existir, ser indeterminados. Sin embargo en nuestro universo ese límite siempre existe, siempre arroja como resultado un número real, cosa que se verifica experimentalmente. Y eso nos está diciendo algo muy relevante: ¡la función cuya derivada siempre existe debe ser una función continua y derivable! ¡Y eso es, efectivamente, lo que ocurre en nuestro universo! Dicho de otro modo: la función que describe la posición no tiene baches y no pega saltos. Ningún móvil puede desaparecer en una posición y reaparecer en el instante siguiente (si se me permite la expresión) en otra posición. Si vos querés pasar de una posición a otra diferente el universo te obliga a pasar por infinitas posiciones intermedias. Parece ser que el universo es matemático, como decía Galileo.

CHISMES IMPORTANTES:

• La velocidad real, tiene a veces otros nombres: velocidad instantánea, velocidad lineal, velocidad tangencial, velocidad a secas.
• El término perplejidades (cosas que te dejan perplejo) se lo debemos a Eduardo Flichman (1932-2005) físico y filósofo de la ciencia argentino que trabajó muchos años en el CBC de la Universidad de Buenos Aires.
• El inventor del análisis matemático fue Isaac Newton (junto con Gottfried Leibniz) que la desarrolló pensando, justamente, en cuestiones cinemáticas: posición, velocidad, aceleración.

• ¿Qué nombre tan creativo le daba Newton a las funciones derivadas?
• Observando el movimiento de un cuerpo, ¿es posible decidir si tiene una velocidad positiva o negativa?
• La integración es la operación inversa de la derivada. Si integro la función velocidad vovemos a la primitiva, la función posición. ¿Y si integro la función posición, qué pasa, me caigo del universo?