Con las derivadas podemos construir un mundo, dos o tres cursos enteros de derivadas en una carrera de matemática, o física, o ingeniería. Pero también con muy poquito, con un ABC, podés cubrir el 90% de lo que se requiere de ellas, por ejemplo, para hacer un curso completo de Física General. Acá te voy a enseñar ese ABC.

Como te conté en la lección anterior la derivada de cualquier función se halla resolviendo esta fórmula:

Función potencial.

Suponete que tenés una función potencial como ésta:

y(x) = 4 x³

Si resolvés la derivada usando la expresión del límite hallás:

y'(x) = 12 x²

Probá hacerlo, no es muy difícil. Y tenés un ejemplo de ésto acá. La cuestión es que se puede generalizar el resultado para cualquier función potencial:

y(x) = c xⁿ

Donde c es un coeficiente cualquiera (una constante) y n la potencia (un número natural). Entonces:

y'(x) = c n x^(n-1)

Aprovechá para verificar que se cumple hasta para casos raros, cuando n vale 1 o 0.

Funciones que son suma de funciones

Sponete que tenés una función que consiste en la suma (o resta) de otras funciones (llamémoslas f, g, h...):

y(x) = f(x) + g(x) + h(x)...

La derivada de esa función es igual a la suma (o resta si corresponde) de las derivadas de cada una de las funciones que aparecen en la suma:

y'(x) = f '(x) + g'(x) + h'(x)...

Funcion polinomial

Si combinamos las dos reglas anteriores ya cubrís el 90% de los requerimientos de análisis matemáticos de derivación de un curso de física general. Por ejemplo, si tenés esta función:

y(x) = 3 x⁵ + 12 x³ − 5 x² + 7

Su derivada será:

y'(x) = 15 x⁴ + 36 x² − 10 x

Funciones trigonométricas

Si querés hallar las derivadas de las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente...) tenés que conocer y manejar las relaciones entre funciones trigonométricas, que son muchas y no te aportan nada importante para tu crecimiento personal a menos que te vayas a dedicar a la matemática. Que te baste con recordar las dos principales:

y(x) = cos x     entonces      y'(x) = − sen x

y(x) = sen x     entonces      y'(x) = cos x

Funciones compuestas (regla de la cadena)

Algunas funciones se pueden interpretar como funciones de funciones anidadas. Por ejemplo:

y = sen 3x

3x es una función (lineal), y sen 3x es una función trigonométrica cuyo argumento (a lo que se aplica la función) es la función 3x, la lineal. Esto también podría simbolizarse así: y = sen u, u = 3x.

Otro ejemplo:

y = (4x³+ 6)⁵

4x² + 6 es una función polinómica de segndo grado, que a su vez es el argumento de otra función: la función potencial cúbica. Podría simbolizarse así: y = u⁵, u = 4x³ + 6. Ahí queda clarito que se trata de una función sobre otra función.

Estos casos suelen simbolizarse así:

f(g(x))

Notación que refleja claramente la estructura anidada de las funciones. O también así:

(fog)(x)

¿Cómo se derivan estas funciones compuestas? Se aplica lo que se llama la regla de la cadena: que se puede simbolizar así:

[ f(g(x)) ]' = f '(g(x)) . g'(x)

En criollo: la derivada de una función compuesta es la derivada de la función que abarca una segunda función, por la derivada de la función abarcada. Volvamos a los ejemplos iniciales para que veas cómo las derivo.

y = sen 3x

y' = cos 3x . 3

Y el segundo ejemplo:

y = (4x³+ 6)⁵

y' = 5 (4x³ + 6)⁴ . 12x²

Cómo sigue esta historia

Con lo de esta lección te alcanza y sobra, como ya te dije, para encarar un curso de fisica general nivel universitario (función real de una sola variable). Cuando necesites avanzar tendrás que encarar estos asuntos:

• derivada de un producto de funciones
• derivada de un cociente de funciones

Para cada uno de estos asuntos hay reglas sencillas que te permiten resolver la derivación sin sobresaltos. Pero no te apures, hay tiempo. Antes de llegar a esas necesidades tenés que aprender lo fundamental: qué es lo que nos cuenta una derivada, qué significa, qué nos permite descubrir, cómo se relaciona con las propiedades físicas del fenómeno que describe la función original (la primitiva), qué provecho podemos extraerle... etcétera. Eso es lo que importa.

De hecho para suplir tu ingnorancia en análisis matemático (y la mía, y la de cualquier otra persona) disponemos de calculadoras, programas y aplicaciones de celular al alcance de cualquier mortal que resuelven nuestros problemas casi inmediatamente y sin equivocarse. Yo estoy usando éste http://experymente.blogspot.com.ar, pero hay decenas, tenés que buscar y adoptar alguno. Derivan, integran, calculan, grafican... hacen de todo... pero necesitás un tiempo mínimo para conocerlo y aprender a usarlo. En general son sencillícimos y amigables.

• En casi todas las aplicaciones de cómputo la potencia se escribe así: xⁿ = x^n
• Todas las aplicaciones que conozco usan notaciones en inglés. Por ejemplo en lugar de escribir sen (seno) tenés que tipear sin. El separador decimal es el punto, no la coma.