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NO ME SALEN
(EJERCICIOS RESUELTOS Y APUNTES TEÓRICOS DE FÍSICA)
Funciones derivadas
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FIS a2.01 - Calcular por definición las siguientes
derivadas:
a) f (x) = 3x + 4
b) f (x) = x²
c) f (x) = 1/x
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| Es fácil, pero hay que arremangarse. Calcular por definición significa que tenés que utilizar la definición de derivada. O sea el límite para Δx tendiendo a 0 del cociente incremental, Δy/Δx. |
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| O sea: |
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| f '(x) = |
lím |
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f(x+Δx) — f(x) |
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| Δx→0 |
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| Δx |
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| Vamos con el primero. La función en un x cualquiera vale 3x + 4, y con un pequeño incremento de x valdrá: 3 (x+Δx) + 4. Entonces: |
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| f '(x) = |
lím |
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3 (x+Δx) + 4 — 3x — 4 |
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| Δx→0 |
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| Δx |
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| f '(x) = |
lím |
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3x +3 Δx — 3x |
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| Δx→0 |
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| Δx |
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| f '(x) = |
lím |
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3 Δx |
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| Δx→0 |
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| Δx |
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Fijate que llegás al mismo resultado al que llegarías aplicando la regla de derivación polinomial (era de esperarse).
Vamos con el siguiente. La función en un x cualquiera vale x², y con un pequeño incremento de x valdrá: (x+Δx)². Entonces: |
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| f '(x) = |
lím |
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(x+Δx)² — x² |
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| Δx→0 |
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| Δx |
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| f '(x) = |
lím |
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x²+ 2 x Δx + Δx² — x² |
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| Δx→0 |
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| Δx |
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| f '(x) = |
lím |
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2 x Δx + Δx² |
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| Δx→0 |
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| Δx |
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| Sigamos, no temas: |
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| f '(x) = |
lím |
( |
2 x Δx |
+ |
Δx² |
) |
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| Δx→0 |
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| Δx |
Δx |
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| f '(x) = |
lím |
( |
2 x Δx |
+ Δx) |
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| Δx→0 |
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| Δx |
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| Ya lo sabías, ¿no? Vamos con el tercero. La función en un x cualquiera vale 1/x, y con un pequeño incremento de x valdrá: 1/(x+Δx). Entonces: |
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| f '(x) = |
lím |
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— 1 |
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| Δx→0 |
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| x² — xΔx |
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| DESAFIO: Derivá por definición f (x) = 2x³ + 3x² + 4 (no te lo pediría si no supusiera que sos capaz de hacerlo). |
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| Algunos derechos reservados.
Se permite su reproducción citando la fuente. Última actualización mar-16. Buenos Aires, Argentina. |
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