La trigonometría es el estudio de las razones (cocientes) entre los lados de triángulos semejantes. En última instancia es una aplicación del Teorema de Tales aplicado en forma exclusiva a triángulos rectángulo.

Acá tenés 3 triángulos rectángulos semejantes entre sí:

Dicho mal y pronto, triángulos semejantes son los que tienen la misma forma y no necesariamente el mismo tamaño. Y precisando un poco más: triángulos semejantes son aquellos que tienen sus ángulos -respectivamente- iguales.

El teorema de Tales asegura que sus lados son -respectivamente- proporcionales. Lo cual podemos expresar algebraicamente así:

Lo mismo que con cualquier otro par de lados, y en el orden que quieras. Por ejemplo:

Cada familia de triángulos semejantes puede identificarse con un solo ángulo, que no sea el recto. Ya que el otro no lo queda más remedio que ser el complementario del primero. (Las suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo vale 180°, si le restamos los 90° del ángulo recto, los que quedan deben sumar otros 90°).

Por ejemplo, a la familia representada allá arriba la podemos representar con ese ángulo, que llamé β. Indicado ese ángulo, los nombres de los tres lados del triángulo se pueden mencionar en función de él.

Los otros tres cocientes se llaman cotangente, secante y cosecante, que prácticamente no vamos a utilizar nunca.

Existe una regla mnemotécnica para no olvidar el orden de los cocientes y sus nombres: SOH-CAH-TOA, (seguro que lo escuchaste).

Advertencia: para pantear cualquiera de las relaciones trigonométricas primero tenés que contar con un triángulo rectángulo; segundo tenés que identificar uno de los dos ángulos agudos; y por último ubicar los lados del triángulo referidos a ese ángulo agudo (cateto adyacente, cateto opuesto e hipotenusa). NO EXISTE UNA REGLA GENERAL para su aplicación con nombre de ejes de referencia, x, y, z, o el que sea. Como ejemplo de ello te ofrezco este ejercicio. O sea: NO ES CIERTO que cos va con x, y sen va con y.

Utilidad:

La utilidad es enorme. Los valores de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo son conocidas y la calculadora tarda 3 milésimas de segundo en dártela. Luego, conociendo el valor de cualquier lado del triángulo rectángulo al que pertenece el ángulo, podés conocer el valor de los otros dos lados.

 

Para seguir aprendiendo:

• Las razones trigonométricas tienen representación gráfica. Para ello se construyen triángulos rectángulos cuya hipotenusa vale 1 en un sistema de coordenadas cartesianas.
• Las razones trigonométricas pueden constituir una función: de su valor en función del valor del ángulo al que pertenecen. Esas funciones tienen importancia crucial en la física.