NO ME SALEN
EJERCICIOS RESUELTOS DE FÍSICA Y BIOFÍSICA
Ondas

 

Ejercicio 1.14 - Una onda que se propaga por una cuerda en el sentido negativo de las x tiene una amplitud de 1 cm, longitud de onda de 3 cm y frecuencia de 200 Hz. Para t=0, la partícula de la cuerda que está en x=0 está en el origen y moviéndose hacia arriba. Entonces ¿cuál es la fórmula que da la elongación en función de la posición y el tiempo?

a) 1 cm sen (2,09 cm-1 x + 1260 s-1 t )     
b) 1 cm sen (2,09 cm-1 x – 1260 s-1 t )
c) 1 cm cos (2,09 cm-1 x + 1260 s-1 t )   
d) 1 cm cos (2,09 cm-1 x – 1260 s-1 t )
e) 1 cm sen (- 2,09 cm-1 x + 1260 s-1 t )    
f) 1 cm cos (-2,09 cm-1 x + 1260 s-1 t )

 

Otro ejercicio diseñado para que te familiarices con la ecuación general de las ondas... y le pierdas el respeto. Vamos a aprovecharlo. Repasemos cuáles son las constantes (en este caso parámetros de la onda) que necesitás para armar la ecuación. El modelo de ecuación lo tenés acá:

y(t,x) = A cos (ωt+kx+φ)

O si querés este otro:

y(t,x) = A sen (ωt+kx+φ)

De modo que las constantes que tenemos que hallar son: A (amplitud), ω (pulsación), k (número de onda) y φ (fase inicial). En rojo te puse las variables; y cos o sen son operadores.

La amplitud, A, es obvio, son los 1 cm que declara el acusado, digo el enunciado. La pulsación, ω, podemos obtenerla gracias a su relación con la frecuencia, que es otro dato del enunciado.

ω = 2π . ƒ = 6,28 . 200 s-1 = 1.260 s-1

El número de onda no es difícil de obtener a partir de los datos del ejercicio... ya que si nos dan la longitud de onda aplicamos la sencilla relación:

k = 2π / λ

k = 2π / 3 cm

k = 2,09 cm-1

Por último nos falta la fase inicial que al no figurar en ninguna de las propuestas debemos inferir que es cero.

φ = 0

Ahora bien, todo esto ya lo sabíamos, de lo contrario, ninguna de las respuestas podría ser correcta. La cuestión está en los signos y en si se trata de la versión seno o coseno.

Para continuar tenemos que usar la información acerca de que en el instante 0 s la partícula que se halla en la posición 0 m tiene una elongación y(0,0) = 0 y se está moviemdo hacia arriba (eufemismo por decir que va a adquirir una elongación positiva).

Veamos, en el instante 0 s y en la posición 0 cm la ecuación de la elongación nos quedaría así:

a) 1 cm sen 0     
b) 1 cm sen 0
c) 1 cm cos 0   
d) 1 cm cos 0
e) 1 cm sen 0    
f) 1 cm cos 0

Como el coseno de cero vale uno (cos 0 = 1) podemos descartar las opciones c), d) y f), porque lo que dice el enunciado es que en ese instante la elongación de esa partícula valo 0 cm, no 1 cm. Nos quedamos con éstas:

a) 1 cm sen (2,09 cm-1 x + 1260 s-1 t )     
b) 1 cm sen (2,09 cm-1 x – 1260 s-1 t )
e) 1 cm sen (- 2,09 cm-1 x + 1260 s-1 t )    

   
   

Veamos el resto. La posición x = 0 cm, sufrirá elongaciones que podrían describir alguna de éstas ecuaciones:

a) 1 cm sen ( 1260 s-1 t )     
b) 1 cm sen ( – 1260 s-1 t )
e) 1 cm sen ( 1260 s-1 t )   

Lo único que hice fue sacar del argumento la componente de posición, que es nula. Apenas avanza el tiempo y deja de valer cero adquiere un número positivo y el seno de un número positivo es positivo, de modo que podemos descartar la ecuación b).

Entre la a) y la e) hay que decidir de esta manera: el enunciado afirma que la onda se propaga en el sentido negativo de las x, eso indica que el signo con el que aparece la variable x debe ser el mismo con que aparece la variable t; entonces la onda se propaga en la dirección x. Nuestra ecuación es la a).

   
  y = 1 cm . sen ( 2,09 cm-1 x + 1260 s-1 t )  
   
Y con esto terminamos.    
     

Desafío: ¿Cuánto valdrá la elongación de un punto situado en la posición 3 cm en el instante 0,005 s?

 
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