Ondas viajeras
Ecuación general de las ondas

¿Cómo es la ecuación de la onda en un movimiento oscilatorio armónico simple (MOAS) en función del tiempo y la posición?

En la página anterior vimos que para una posición cualquiera por la que pasa una onda armónica, la ecuación del apartamiento, x, estaba dada por la expresión:

x = A cos (ωt + φ')

donde ω era la pulsación y φ' la fase inicial.

Operando en forma análoga a la que utililizamos para encontrar esta ecuación, podemos hallar aquella que describe el apartamiento en cualquier posición (z) por la que viaje una onda armónica en un isntante dado (o sea: una foto):

x = A cos (kz + φ'')

donde k es un parámetro de cada onda, llamado número de onda, que es igual a...

k = 2π / λ

k = 6,28... / λ

Combinando ambas ecuaciones arribamos a una ecuación nueva -y muy interesante- que recibe el nombre de ecuación de la onda viajera (es un nombre de fantasía) o ecuación general de una onda:

que describe el apartamiento (o la perturbación) que sufre una partícula cualquiera que se halla en una posición cualquiera (z) en cualquier instante (t).

Tal vez, la novedad más importante para vos, sea el hecho de estar enfrentando una ecuación con tres variables: una dependiente (x) y dos independientes (t y z). Muchos libros de texto destacan ese hecho con esta notación:

x_(t,z) = A cos (ωt + kz + φ)

que refuerza la idea que te acabo de presentar: "x depende de t y de z" (el apartamiento depende del instante y de la posición). Muchos escriben el paréntesis que contiene las variables independientes no como subíndice sino como un factor:

x (t,z) = ...

Se trata, a mi juicio, de un error de notación... pero está tan extendido que ya casi todo el mundo lo acepta sin chistar.

CHISMES IMPORTANTES

• Ya te habrás dado cuenta que las ecuaciones de las ondas se escriben indistintamente con la función seno o coseno. La única diferencia entre ambas es que se hallan corridas en un ángulo (en un argumento) igual a 90°, o sea, pi.
• Como la pulsación está relacionada con la frecuencia y el número de onda con la longitud de onda, la velocidad de propagación puede escribirse en función de los parámetros que aparecen en su ecuación:
  
  

  v = λ . f = ω / k

  Aunque esa sencilla demostración va a aparecer en varios ejercicios, tratá de verificar la igualdad ahora.

• ¿Por qué dije que k (el número de onda) es un parámetro? ¿Qué unidades debe tener k? ¿A qué puede deberse el nombre que le pusieron? ¿Qué indica el signo de k?