NO ME SALEN
EJERCICIOS RESUELTOS DE FÍSICA Y BIOFÍSICA
Ondas

 

Ejercicio 1.10 - Una onda armónica de 440 Hz se desplaza en el sentido positivo de las x con una velocidad de 345 m/s. Sabiendo que su amplitud es de 0,02 cm y que f(0,0) = - 0,02 cm.
a) Escribir f(x,t).
b)
Determinar cuánto tiempo es necesario para que la fase varíe 90° en un punto dado del espacio.
c) Calcular la diferencia de fase (en grados) entre dos puntos separados 4,4 cm?
 

Otro ejercicio diseñado para que te familiarices con la ecuación general de las ondas... y le pierdas el respeto. Vamos a aprovecharlo. Repasemos cuáles son las constantes (en este caso parámetros de la onda) que necesitás para armar la ecuación. El modelo de ecuación lo tenés acá:

y(t,x) = A cos (ωt+kx+φ)

De modo que las constantes que tenemos que hallar son: A (amplitud), ω (pulsación), k (número de onda) y φ (fase inicial). En rojo te puse las variables; y cos es un operador.

La amplitud, A, es obvio, son los 0,02 cm que declara el acusado, digo el enunciado. La pulsación, ω, podemos obtenerla gracias a su relación con la frecuencia, que es otro dato del enunciado.

ω = 2π . f = 6,28 . 440 s-1 = 2.763 s-1

El número de onda no es difícil de obtener a partir de los datos del ejercicio... ya que si nos dan la velocidad de propagación y la frecuencia, podemos obtener la longitud de onda... si juntás todo eso, vas a ver que te queda esta sencilla relación:

k = ω / v = 2.763 s-1 / 345 m/s = 8 m-1

Por último nos falta la fase inicial. Para eso es necesario conocer el valor de la perturbación en un instante y en una posición. El enunciado nos lo da; y nos da el más sencillo de calcular: la posición 0 en el instante 0. Por ahora nuestra ecuación es ésta:

f(t,x) = 0,02 cm cos ( 2.763 s-1 t + 8 m-1 x + φ )

Pidámosle que hable del (0,0) a ver qué pasa:

f(0,0) = 0,02 cm cos ( 2.763 s-1 . 0 s + 8 m-1 . 0 m + φ ) = 0,02 cm

f(0,0) = 0,02 cm cos ( 0 + 0 + φ ) = 0,02 cm

f(0,0) = 0,02 cm cos φ = 0,02 cm

Acá vemos que para que la igualdad se cumpla el coseno de φ debe valer 1, por lo tanto...

φ = π = 3,14...

La ecuación de la onda nos queda así:

   
           f(t,x) = 0,02 cm cos ( 2.763 s-1 t + 8 m-1 x + π )  
   
La pregunta b) está formulada en jerga de físicos... va a requerir un pequeño esfuerzo de interpretación. Mirá el gráfico.    
El intervalo que te están solicitando es que te representé en el gráfico de la derecha... que se corresponde con el avance del giro (del MCU asociado a la onda armónica) del esquema de la izquierda. Observalo, meditalo, disfrutalo, saborealo... y cualquier otro alo que se te ocurra.
   

Acordate que el MCU gira a una velocidad angular ω, que no es otra que nuestra pulsación. Y vos ya recontra sabés que la velocidad angular (constan te) es igual al cociente entre el ángulo barrido y el intervalo correspondiente (ω = Δφ / Δt )... luego, esto es una pavada:

Δt = Δφ /ω

Δt = (π/2) / 2.763 s-1

Δt = 1,57 / 2.763 s-1

   
         Δt = 5,7 x 10-4 s  
   

Si entendiste el procedimiento anterior no vas a tener inconvenientes con este nuevo de la pregunta c), que es casi exactamente lo mismo pero a la inversa. Ahora nos dan un Δx (una diferencia de posiciones) y nos preguntan con que ángulo (del MCU asociado) se corresponde. Seguime... no tengo nada que explicarte...

Δt = Δx / v , y Δφ = Δt . ω

entonces, combinando ambas...

Δφ = Δx . ω / v

Δφ = 4,4 cm. 2.763 s-1/ 345 m/s

Δφ = 4,4 cm. 2.763 s-1/ 34.500 cm/s

   
         Δφ = 0,35 = 20°  
   
No me digas que ya te olvidaste cómo pasar radianes a grados sexagesimales. Regla de tres simple: 3,14 es a 180° como 0,35 a x. Y ahí está. (¡Habráse visto!).    
Comentario: Una onda que se propaga a 345 m/s... Cuya frecuencia es de 440 Hz... ¿Qué te sugiere? Seguramente se trate de un sonido musical, el la central del piano tiene justamente esa frecuencia. Que es, además, del sonido de referencia para la afinación de los instrumentos musicales. Pero muchos instrumentos son capaces de producir ese sonido: el piano, la guitarra, la voz humana... Algo más que la frecuencia debe haber en la onda sonora para que nuestro oído pueda identificar perfectamente cuál es el emisor del sonido... ¿No te parece?
   

Desafío: En la guía de ejercicios original de donde fue extraído éste, el resultado de la pregunta a) se indica así:  f(t,x) = 0,02 cm cos ( 2.763 s-1 t + 8 m-1 x ). Demostrar que los resultados son idénticos, y generalizar.

 
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