F d5.10* - Los cuerpos de la figura de igual masa giran en el sentido indicado sobre una mesa horizontal sin rozamiento con movimiento circular uniforme y un estiramiento x del resorte. tanto la longitud de la cuerda (ideal) como la natural del resorte valen L. En estas condiciones la velocidad angular ω de ambas masas será:

a) ω = [kx/(3mL+2mx]^½      b) ω = kx/3mL+2mx)
c) ω = (kx/3L+2x)²             d) ω = k/(3mL+2mx)   
e) ω = x/(3mL+2mx)           f) ω = 1/(3mL+2mx)

Para la gente despierta, este ejercicio se resuelve en 5 segundos. En cambio, para los estudiosos en 15 minutos. Veamos. Debemos arrancar por los diagramas de cuerpo libre.

Con esto nos vamos a Newton:

F_e — T = m₁ . a₁

T = m₂ . a₂

Es un error bastante común ovidar que ambos cuerpos tienen diferentes aceleraciones. Vos no lo cometas. Por otro lado esas aceleraciones vamos a expresarlas en función de la velocidad angular... que sí es la misma para ambos cuerpos. Era así: a = ω² . R

Y ahora viene lo que más cuesta... los radios de ambos cuerpos son diferentes... ¿pero cuánto valen? El cuerpo de adentro gira con el resorte estirado, o sea R₁ = L+x. Y el cuerpo de afuera a una cuerda más lejos, o sea: R₂ = 2L+x.

Por último, no tenés que olvidarte que a la fuerza elástica no le interesa la longitud del cuerpo sino cuánto está deformado, de donde F_e = kx.

Metamos todo eso en las ecuaciones de Newton, previamente las sumamos miembro a miembro:

F_e = m₁ . a₁ + m₂ . a₂

Como las masas son iguales las podemos llamar simplemente m y la sacamos como factor común:

F_e = m (a₁ + a₂)

Ahora sí... reemplacemos lo que fuimos razonando:

kx = m ( ω² (L+x) + ω² (2L+x) )

Ahora saco como factor común ω² y lo despejo:

ω² m (3L+2x) = kx

ω² = kx / (3mL+2mx)