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   (EJERCICIOS RESUELTOS Y APUNTES TEÓRICOS DE FÍSICA)
   Funciones - Trigonometría
   

 

TEOREMA DEL COSENO - Demostración
 

El teorema del coseno es algo así como una extensión del Teorema de Pitágoras (que sólo es plicable a triángulos rectángulos) a triángulos cualesquiera; de hecho, también es conocido con el nombre de Teorema de Pitágoras Generalizado.

 

Supongamos un triángulo cualquiera de vértices:

A, B y C.

Los ángulos correspondientes a cada vértice son:

α, β y γ.

Y los lados (opuestos a cada vértice):

a, b y c.

   
El teorema dice:    
  a² = b² + c² - b . c . cos α  
   

DEMOSTRACIÓN: La demostración original se atribuye a Euclides, aunque recién alcanza su forma actual con la trigonometria de la Edad Media.

   

Tracemos una de las alturas del triángulo, hc. Entonces el triángulo original queda dividido en dos triángulos rectángulos (no te olvides que las alturas son ortogonales al lado correspondiente).

Entonces, en el triángulo sombreado de violeta:

a² = (c-x)² + hc²

Y en el triángulo coloreado de amarillo:

b² = x² + hc²

   

En la primera expresión desarrollamos el cuadrado del binomio:

a² = c² - 2cx + x² + hc²

Y de la segunda despejamos hc²:

hc² = b² - x²

Eso lo metemos en la anterior:

a² = c² - 2cx + x² + b² - x²

x² aparece sumando y restando, de modo que los tiramos a la basura y reordenamos:

a² = b² + c² - 2cx

Ahora volvemos a mirar el triangulito amarillo y nos convencemos de que:

x = b cos α

Reemplazamos esto en la última, con lo que llegamos a nuestro teorema:

a² = b² + c² - 2 b c cos α

   
Como los lados del triángulo son lados cualesquiera, podemos formular el teorema de esta manera: el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de esos dos lados por el coseno del ángulo opuesto.  

 

 

Tenés otra demostración más, y diferente, en el capítulo de vectores, acá.

  Magnetismo - Ricardo Cabrera
   
   
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