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   (EJERCICIOS RESUELTOS Y APUNTES TEÓRICOS DE FÍSICA)
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FIS v.21- Haciendo uso de la propiedad distributiva del producto escalar y vectorial respecto de la suma, demostrar el teorema del coseno y del seno y especializar cuando uno de los ángulos es recto (teorema de Pitágoras).

          |a|² = |b|² + |c|² - |b| . |c| cos α


  sen α = sen β = sen γ  



|a| |b| |c|

¿La propiedad distributiva del producto escalar y vectorial respecto de la suma? ¿Qué es eso? Bueno, che... la misma frase lo dice...

a • (b + c) = (a • b) + (a • c)

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

Era simple. Bueno, armados con esta herramienta vamos a tratar de demostrar esos teoremas tan famosos.

Empecemos con el teorema del coseno.

Vamos a considerar cada lado del triángulo como un vector. Entonces no podés negar que:

a = bc     (todos vectores)

Si multiplicamos escalarmente esa igualdad por sí misma nos queda:

a • a = (b – c) • (b – c)

|a|² = (b • b)2 (b • c) + (c c)

Ahí fue donde usamos la propiedad distributiva.

|a|² = |b|² 2 (b • c) + |c|²

Reordenemos:

|a|² = |b|² + |c|² 2 (b • c)

Y ahora, por definición del producto escalar:

   
  |a|² = |b|² + |c|² |b| . |c| cos α  
 

 

No pierdas de vista que α es el ángulo entre b y c. De ahí es inmediato que si el triángulo es rectángulo, el teorema del coseno se transforma en el teorema de Pitágoras (cos 90° = 0) :    
  |a|² = |b|² + |c|²  
   

Vamos al teorema del seno. Volvé a mirar el gráfico. No podrás negar que

a = bc     (todos vectores)

Ahora hagamos la multiplicación vectorial de esa igualdad por el vector a:

a x a = a x (bc)

Propiedad del producto vectorial en el primer miembro y propiedad distributiva en el segundo:

0 = (a x b) – (a x c)

(a x b) = (a x c)

Ahora aplicamos a definición de producto vectorial:

|a| . |b| . sen γ = |a| . |c| . sen β

Eligiendo otros lados del triángulo habríamos llegado a otra igualdad, pero en definitiva:

|c| . |b| . sen α = |a| . |c| . sen β = |a| . |b| . sen γ

Si ahora dividimos miembro a miembro por el producto |a||b||c|...

 

 

 
  sen α = sen β = sen γ  



|a| |b| |c|
 
   
     

Desafío:

  Magnetismo - Ricardo Cabrera
   
   
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