EJERCICIO 4 - Un helicóptero vuela entre dos ciudades distantes 20 kilómetros. En cierto instante se lo ve desde ambas ciudades. Desde una de ellas con un ángulo de 26 grados sobre el horizonte y desde la otra con un ángulo de 14 grados también sobre el horizonte. Hallar la distancia del helicóptero a las ciudades y la altura a la que se encuentra.

Hagamos un esquema de la situación y pongámosle nombre a los elementos del ejercicio.

Supongamos que A es la ciudad que ve el helicóptero con un ángulo de 26° y B la otra. H es la posición del helicóptero. Entonces AH y BH son dos de nuestras incógnitas.

Está claro que lo que enfrentamos es un simple ejercicio de resolución de triángulos, ¿no? Te propongo que averigües el valor del ángulo en el vértice H. Coincidirás conmigo en que vale 140°, porque la suma de los triángulos interiores de cualquier triángulo siempre vale 180°.

Entonces la solución del problema es sencillísima aplicando el teorema del seno, que decía que en cualquier triángulo el seno de un ángulo dividido su lado opuesto es igual al seño de cualquiera de los otros ángulos divididos respectivamente por su lado opuesto. O sea:

De ahí despejamos nuestras incógnitas y las calculamos:

h es la altura a la que se encuentra el helicóptero y fijate que podemos dividir nuestro triángulo original en dos triánguos rectángulos (yo pinté el de la derecha). Luego, podemos volver a aplicar el teorema del seno para este nuevo triángulo:

De donde:

Si en lugar de usar el triángulo de la derecha hubiésemos usado el de la izquierda, por supuesto, la altura nos tendría que dar lo mismo... ¿no? Bueno, hacelo.

DESAFIO: También podrían interesarnos las distancias entre las ciudades y la posición horizontal del helicóptero. ¿Te animás a encontrarlas? ¿Cuál será la verificación inmediata de esos resultados?