FIS m.07- Si x y x₀ son longitudes, v₀ es una velocidad, a es la aceleración y, finalmente, t y t₀ son tiempos, demostrar que las expresiones siguientes
son dimensionalmente correctas:

x = x₀ + v₀ (t - t₀) + ½ a (t — t₀)²

v — v₀ = a (t — t₀)

A esta tarea se la llama análisis dimensional y consiste en verificar que las peras se suman con peras y no con manzanas, y que las magnitudes físicas se relacionan correctamente con otras magnitudes y tienen las unidades que deben tener.

Las personas que tienen experiencia algebraica (con un par de años alcanza) hacen este trabajo automática e inconscientemente. A vos ya te va a pasar.

Empecemos con la primera ecuación. x = x₀ + v₀ (t - t₀) + ½ a (t — t₀)².Fijate que tiene cuatro téminos... todos tienen que referirse a la misma magnitud, ya que las peras se suman con peras. Y esa magnitud debe ser la longitud, que podrías medirla en metros o en pulgadas o en nanometros... cualquier unidad de longitud.

Vamos a ispeccionar los términos conflictivos: el segundo y el tercero. v₀ (t - t₀). Como dice el enunciado v₀ es una velocidad, y las velocidades surgen del cociente entre una longitud y un intervalo de tiempo, que se mide en metros sobre segundo, o kilómetros sobre hora, o yardas por minuto... lo que quieras, pero el numerador es una longitud y el denominador un tiempo. Y el paréntesis es una resta entre tiempos, que se medirá en cualquier unidad de tiempo. Luego el denominador del cociente velocidad se cancelará con ese tiempo y sólo queda en el término la magnitud longitud. O sea, lo correcto para sumarlo a los otros.

Vamos al tercero. ½ a (t — t₀)². El ½ no afecta las dimensiones, es sólo un número. La aceleración se mide en metros sobre segundo al cuadrado o en cualquier unidad de longitud dividida por cualquier unidad de tiempo al cuadrado. Estás se cancelarán con las unidades de los tiempos al cuadrado del paréntesis y, nuevamente, el resultado es una longitud.

Vamos a la segunda ecuación: v — v₀ = a (t — t₀). El primer miembro es una resta entre velocidades, y está bien: sumar o restar (es lo mismo) sólo peras con peras. El segundo miembro es el producto entre una aceleración y un tiempo. Cualquiera sea la unidad con la que se mida ese tiempo se cancelará con la unidad del denominador de la aceleración, pero sólo una vez (no te olvides que a aceleración tiene dividiendo dos veces la magnitud tiempo. Bueno, queda como magnitud velocidad, que es lo esperable.

Esas dos ecuaciones con las que trabajamos en este ejercicio son famosas, se trata de las ecuaciones horarias del movimiento acelerado. Tomá mate.

Desafío: La magnitud que describe la variación de la aceleración a medida que transcurre el tiempo se llama tirón, j, ¿Cuáles serían sus unidades?