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NO ME SALEN
(EJERCICIOS RESUELTOS Y APUNTES TEÓRICOS DE FÍSICA)
MAGNETISMO
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5) En un ciclotrón se aceleran núcleos de helio de 6,68 x 10-27 kg de masa y carga 2e. El período de la órbita es 10-7 s. a) ¿Cuánto vale el campo magnético? b) Si el radio de la órbita máxima es 2 m, ¿cuánto valdrá la velocidad de eyección de los núcleos?*
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El ciclotrón fue inventado por Ernest O. Lawrence en 1930, y utiliza una propiedad muy curiosa: cuando una partícula cargada eléctricamente gira dentro de un campo magnético el radio de giro es proporcional a la velocidad de la partícula, cuanto más velozmente se mueva más grande la circunferencia que describe. Pero lo curioso es que el período -o sea el intervalo que tarda en realizar un giro completo- no cambia, es constante. Veamos:
Como viste en Fuerza magnética sobre una carga en movimiento, la fuerza magnética sobre los iones es siempre perpendicular a la velocidad. Por lo tanto esa fuerza será de tipo centrípeta, y durante su permanencia en el campo los iones describirán circunferencias. |
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La dinámica de las partículas estará descripta por:
FM = m ac
donde FM es la fuerza que reciben del campo magnético, m es la masa de la partícula que sea, y ac será su aceleración centrípeta.
La aceleración centrípeta la podemos reemplazar por su equivalente:
FM = m 4π2 r / T2
donde T es el período de la partícula, y r el radio de la circunferencia. |
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| Una carga eléctrica moviéndose en un campo magnético uniforme recibe una fuerza magnética que la obliga a moverse en círculos. |
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Por otro lado, la fuerza magnética depende de estas características:
FM = q v B sen Θ
donde q es la carga de los iones, B la intensidad del campo magnético y Θ el ángulo que forman la velocidad y el campo. En los ciclotrones el campo y la velocidad de ingreso forman 90 grados, de modo que podemos prescindir de ese factor. Si juntamos las expresiones (ambas hablan de la misma fuerza) nos queda:
q v B = m 4π2 r / T2
La velocidad podemos expresarla en función de los otros parámetros del movimiento circular...
v = ω r = 2π r / T
Si reemplazamos la velocidad en la anterior:
q B 2π r / T = m 4π2 r / T2
Y simplificando:
q B = 2π m / T
De donde obtenemos:
T = 2π m / q B
Lo que confirma que el período es independiente del radio de giro y de la velocidad de la partícula. Con esta expresión vamos a resolver el ejercicio.
Vamos al ciclotrón. Consiste en dos grandes D huecas separadas por un espacio intermedio en el que se establece un campo eléctrico potente que se invierte alternadamente, ya que está alimentado por una corriente alterna de alta frecuencia. |
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El conjunto está inmerso en un poderoso campo magnético perpendicular a las D. En el centro del dispositivo se inyectan las partículas cargadas que rápidamente son engullidas por una de las D. En virtud del campo magnético pegan un pequeño giro y salen nuevamente al espacio intermedio. Ingresan a la segunda D pero con mayor velocidad ya que fueron aceleradas durante el pasaje entre las D. De modo que el segundo giro será más amplio. Sucesivamente al pasar de una D a otra, la velocidad se hace mayor y la circunferencia descripta también. Así, cuando sobrepasan el diámetro de la D salen disparadas hacia afuera con una energía enorme y dispuestas a bombardear un blanco microscópico: otros núcleos.
Y por fin, vamos al ejercicio: el campo magnético valdrá...
B = 2π m / q T
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B = 2π 6,68 x 10-27 kg / 2 . 1,602 x 10-19 C . 10-7 s
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Un campo magnético 25.000 veces más intenso que el campo magnético terrestre. Vemos con qué velocidad, vfinal, salen los núcleos del ciclotrón:
vfinal = 2π r / T
vfinal = 2π 2 m / 10-7 s
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O sea, casi la mitad de la velocidad de la luz. De hecho, estas velocidades tan altas constituyen una dificultad para los ciclotrones ya que -como predijo Einstein- al aumentar la velocidad a valores cercanos a los de la luz la masa crece y el período disminuye. La tecnología logra remediar este desfasaje, pero lo interesante es que fue la primera confirmación de la variación de la masa predicha en la Teoría Especial de la Relatividad.
Los ciclotrones fueron los primeros aceleradores de partículas y el servicio que le prestaron a la ciencia y los avances en la investigación en la física de partículas es colosal. Actualmente se los utiliza para crear isótopos radioactivos para múltiples usos. Incluso se fabrican a escala pequeña para equipar hospitales que preparan isótopos radioactivos para uso medicinal. |
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| * Ejercicio adaptado de Física, Kane-Sternheim, Ed. Reverté, p438. |
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| Desafío: Verificar que los sentidos de giro esquematizados son o no son los correctos. Verificar que kg C-1s-1 = T (un kilogramo dividido un coulomb por un segundo es igual a un tesla). |
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Se permite su reproducción citando la fuente. Si se pierde una brújula son 7 años de mala suerte. Última actualización
sep-11. Buenos Aires, Argentina. |
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