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NO ME SALEN
(EJERCICIOS RESUELTOS DE FÍSICA DEL CBC)
FLUIDOS - HIDROSTÁTICA
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FIS H.17) - EL PROBLEMA DE LA CORONA DEL REY:
Según la leyenda, el rey Hierón le entregó
1 kg de oro a su joyero para la construcción de la
corona real. Si bien ese fue el peso de la corona
terminada, el rey sospechó que el artesano lo
había estafado sustituyendo oro por plata oculta
en el interior de la corona. Entonces le encomendó
a Arquímedes que dilucidara la cuestión sin
dañar la corona.
Arquímedes la sumergió en agua y observó que
el volumen de líquido desplazado era 64,8 cm3. |
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a) ¿Cuál debería ser el volumen de líquido desplazado
por una auténtica corona de oro puro?
b) ¿Qué cantidad de oro sustituyó el joyero
por plata?
c) En una balanza de brazos iguales se coloca
la corona “trucha” de un lado e igual masa de
oro del otro. En el aire el sistema está en equilibrio;
cuando se sumerge en agua se desequilibra.
¿Qué pesa se debería agregar sobre la barra
y en dónde para conseguir equilibrar el sistema? |
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A ver... para que te quede claro: si la corona hubiese sido de oro puro, tendría que haber tenido un volumen esperado, Vesp, de... (dejame que lo deduzca):
ρcor = ρoro = m / Vesp
Vesp = m / ρoro
Vesp = 1.000 g / 19,3 g/cm3
Donde ρcor es la densidad de la corona, que si fuera de oro puro tendría que ser igual a la densidad del oro, ρoro. |
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Pero el chabón le mide el volumen y encuentra que es mayor que el esperado, de modo que debería deducir que la corona está hecha de un material menos denso que el oro, o no es maciza, o tiene una mezcla de materiales que, en su conjunto, son menos densos que el oro puro.
No tengo idea de cómo sospecharon que el material intruso era plata, pero en ese caso, ¿cómo podemos hacer para saber qué cantidad de plata introdujo el orfebre para reemplazar el oro que se afanaba?
Hay razonamientos más simples y directos, pero yo lo voy a hacer con "fuerza bruta", sin nada de ingenio. Acá va. La suma de los pesos (voy a utilizar masas), del oro y de la plata, equivale al peso total de la corona. Y la suma de los volúmenes, ídem.
mcor = moro + mplata
Vcor = Voro + Vplata
En lugar volúmenes podemos usar las densidades de cada material: |
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| Vcor = |
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moro |
+ |
mplata |
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| ρoro |
ρplata |
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| A partir de acá es pura álgebra, no chilles. En la última meto la primera y despejo la masa de plata (que es lo mismo que se afanó de oro). |
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| Vcor = |
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mcor – mplata |
+ |
mplata |
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| ρoro |
ρplata |
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| Vcor = |
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mcor |
– |
mplata |
+ |
mplata |
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| ρoro |
ρoro |
ρplata |
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| Vcor – |
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mcor |
= – |
mplata |
+ |
mplata |
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| ρoro |
ρoro |
ρplata |
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| Vcor – |
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mcorona |
= mplata |
ρoro – ρplata |
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| ρoro |
ρoro . ρplata |
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| mplata = (Vcor – |
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mcor |
) . |
ρoro . ρplata |
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| ρoro |
ρoro – ρplata |
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La densidad del oro vale 19,3 g/cm3 y la de la pata 10,5 g/cm3.
mplata = (64,8 cm3 – 51,8 cm3) . 23,03 g/cm3
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mplata = 300 g |
qué pícaro |
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| Los métodos ingeniosos, claro está, tienen un álgebra mucho más sencilla. Si encontrás un camino algebraico más directo que éste (sin reemplazos numéricos previos, claro está) no dejes de mandármelo que así cambio el mío que se me antoja un poco pesado. Todavía nos falta una pregunta. |
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El mismo peso pero diferente volumen, el lógico que la corona tenga más empuje, luego la balanza se inclina.
Para que no se incline hay que añadirle un peso igual al peso de de la diferencia de volumen: |
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Vcorona = 64,8 cm3
Vesperado = 51,8 cm3
ΔV = 13 cm3
Y ese volumen de agua pesa 13 gf. Eso sí... la pesita la tenés que agregar arriba en el brazo de la balanza, no colgando de la corona y sumergida. |
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Dejame que discuta un poco este ejercicio. La fábula de la corona del rey Hierón me parece de mala calidad. Primero muchos profesores de Física un poco incautos ¡y muchos libros de Física!, eso es aún peor, presentan esta fábula como ilustración del Principio de Arquímedes... de cual no dice nada absolutamente. El principio de Arquímedes no aparece en esta historia ni en una pizca, ni de oro, ni de plata, ni de agua.
Pese a que es muy vistosa por el final (censurado en este ejercicio) que cuenta que exitado por su descubrimiento Arquímedes salió de la tina y corrió por las calles de Siracusa en bolas al grito de ¡eureka, eureka! que en español antiguo significa ¡eureka, eureka!, la fábula sólo ilustra el descubrimiento de la determinación de volúmenes por el método de desplazamiento: si un cuerpo se sumerge totalmente en un líquido desplaza un volumen de líquido igual al volumen propio. Hace 2400 años, este descubrimiento podía poner feliz a cualquiera... pero no es el Principio de Arquímedes. Si se exitó tanto al descubrir este método de medir volúmenes no alcanzo a imaginarme cómo habrá festejado al descubrir el principio que lleva su nombre.
Por otro lado no alcanzo a entender por qué Hieron II sospechó que la substitución de material se haría con plata, y no con cualquier otro metal o material (incluso más barato que la plata). Mis conocimientos de orfebrería helénica no son suficientemente idóneos para despejar esta duda. Pero incluso pienso que el orfebre podía ser no sólo honesto sino también práctico y creativo, al fabricar una corona de oro hueca, mucho más voluminosa, vistosa y ornamental... y sin substraer un solo y miserable gramo de oro al desconfiado rey, con el único costo -claro está- de disminuir la densidad de la corona, algo que nadie más que el rey podía notar (eso si tuviera mucha sensibilidad en el cuero cabelludo). Pamplinas.
Por último, aún cuando parte de esta historia fuese cierta, en vida de Arquímedes no había instrumentos necesarios para medir con suficiente precisión el líquido desplazado por la corona. O sea, esta leyenda se hace agua por todos lados, no logra mantenerse a flote por más Arquímedes que la sostenga. Prefiero suponer que tal orfebre no fue degollado y cargo con un muerto menos en mi conciencia humana. |
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DESAFÍO: ¿Qué volúmenes de oro y plata (escondida) conformaban la corona? |
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| Algunos derechos reservados.
Se permite su reproducción citando la fuente. Se agradece a Patricio Sosa por el envío de una errata. Última actualización jun-11. Buenos Aires, Argentina. |
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