NO ME SALEN
   (EJERCICIOS RESUELTOS Y APUNTES TEÓRICOS DE FÍSICA)
   Estática

VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASA

Una de las propiedades más interesantes del centro de masa aparece cuando se considera un sistema de cuerpos que se mueven en diferentes direcciones, por ejemplo un conjunto de estrellas en una galaxia, los fragmentos de una explosión, etcétera.

En la sección anterior te conté que la posición del centro de masa se puede hallar resolviendo un "promedio ponderado" entre todas los posiciones, x_i, que ocupa cada uno de los fragmentos de masa, m_i, que integran un cuerpo o simplemente un sistema de masas:

Donde M es la masa total del sistema. Cuando la distribución de masas se halla en el plano o en un volumen se repite el procedimiento para hallar las 2 o las 3 coordenadas del centro (x, y, z) de masa según corresponda.

En este apartado, a los fines de la abreviación voy a llama r_i a la posición de cada fragmento independientemente de cómo sea la distribución general. Entonces:

Hagamos un sencillo desarrollo algebraico que nos va a revelar una propiedad sorprendente. Primero pasemos multiplicando la masa total del sistema, M, al primer miembro:

M r_G = Σ m_i r_i

Ahora supongamos que todo está en movimiento: las posiciones de los fragmentos cambian, y por supuesto, la del centro de masa también. Eso se podría representar -aunque un poco groseramente- así:

M Δr_G = Σ m_i Δr_i

Ahora, si dividimos miembro a miembro por un intervalo de tiempo en el que ocurre un cambio de posiciones, tenemos:

O, lo que es lo mismo:

M v_G = Σ m_i v_i

Sorpresa:

Esto nos dice que la cantidad de movimiento del centro de masa es igual a la suma de todas las cantidades de movimiento de cada fragmento de masa que integra el cuerpo o el sistema (pero no te olvides: hablamos de una suma vectorial).

A partir de esta relación se concluyen relaciones verdaderamente sorprendentes. Por ejemplo: si un sistema de partículas no recibe fuerzas externas, entonces la velocidad del centro de masa será nula o bien tendrá una velocidad constante.

Otra: si todas las partículas que integran un sistema reciben exactamente la misma fuerza, hagan lo que hagan cada una de ellas, el centro de masa se comporta como si toda la masa estuviera reunida en ese punto y ahí, justo ahí, estuviera recibiendo esa fuerza externa.

Si lo que te interesa es la velocidad del centro de masa, basta con que volvamos a pasar dividiendo la masa total al segundo miembro.

Si estuvieses frente a un problema bi-dimensional o de más dimensiones, habrá que resolver la ecuación para cada una de las componentes de la velocidad. Por ejemplo:

v_Gx = Σ m_i v_ix / M

v_Gy = Σ m_i v_iy / M

Luego recomponés la velocidad a partir de sus componentes.

• La deducción correcta de estas relaciones se efectúa con el auxilio del análisis matemático (derivadas e integrales). Y de la misma manera se demuestra que la aceleración del centro de masa es igual a la suma de las "aceleraciones ponderadas" de la totalidad de los fragmentos.
• Los ciclistas ganan las carreras tirando su cuerpo hacia atrás a último momento. En ese breve intervalo en que se está por cruzar la meta la bicicleta sufre una fuerte aceleración hacia adelante y el ciclista gana. Sin embargo el centro de masa del conjunto ciclista-bicicleta no varió su velocidad.
• El clavadista se tira desde el trampolín y mientras cae a la pileta realiza vueltas, tirabuzones y 248 piruetas más. Las velocidades y aceleraciones de cada una de sus partes: brazos, manos, cabeza, cintura, piernas, orejas, dientes y pelitos de la cabeza, parecen realmente caóticas y es imposible perseguirles el rastro. Sin embargo el centro de masa del clavadista describe una trayectoria limpia y pura: una parábola perfecta.

• ¿Cómo se puede describir físicamente una explosión?
• ¿Cómo formularías la propiedad de esta lección como una ley de conservación?