b) Calcule a qué distancia del punto B se detiene el cuerpo.

La gran mayoría de los problemas de energía comienzan por elegir dos situaciones, dos estados, dos lo que quieras... pero dos. En este caso voy a llamar 1 a la situación en que se suelta el carrito y 2 aquella en el que el carrito comprime todo lo que puede al resorte.

Luego de elegir los eventos, los comparamos energéticamente, y decimos:

ΔE_M12 = W_Fnc12

Empecemos con el segundo término. En este problema la única fuerza no-conservativa que actúa durante el viaje es el rozamiento, y lo hace sólo en el tramo AB.

E_M2 — E_M1 = W_Roz

E_C2 + E_PG2 + E_PE2 — ( E_C1 + E_PG1 + E_PE1 ) = W_Roz

Algunos términos se anulan, veamos: la energía cinética en 1 es cero pues el carrito se suelta desde ahí, eso es velocidad cero. La energía cinética en 2 también es cero pues se trata de la máxima compresión del resorte. Si tomo el nivel cero de alturas en la posición de abajo, entonces la energía potencial gravitatoria de 2 se hace cero. Sigamos, la energía potencial elástica en 1 también vale cero (¡si en 1 no hay ningún resorte confiriéndole energía al carrito!) ¿Qué queda?

E_PE2 — E_PG1= Roz . d_AB . cos 180°

½ k Δx² — m g h₁ = — μ_d N . d_AB

k = 2 ( m g h₁ — μ_d m g . d_AB ) / Δx²

k = 2 . 2 kg 10 m/s² ( 3 m — 0,4 . 5 m) / (0,06 m)²

A la segunda respuesta se puede arribar de distintas formas. La más económica es preguntar a qué distancia se disipa toda la energía elástica que tiene el carrito en 2. Llamaré 3 a esa posición final dentro del tramo con rozamiento en el que el carrito se detiene definitivamente.

½ k Δx² = μ_d m g . d_B3

d_B3 = ½ k Δx² / μ_d m g

d_B3 = ½ 11.111 N/m . (0,06 m)²/ 0,4 . 2 kg . 10 m/s²

O sea, justo en la mitad.

Lamentablemente la mayor parte de los estudiantes (que no alcanzó una comprensión cabal del método de las Leyes de conservación) pierde preciosos minutos en encontrar la velocidad del carrito en A y luego también en B. No está mal... pero es absolutamente innecesario. Quienes comprenden el método saben que sirve para comparar energéticamente cualquier par de estados (no necesariamente consecutivos, si eso quisiera decir algo).