NO ME SALEN
EJERCICIOS RESUELTOS DE FÍSICA DEL CBC
(Leyes de conservación, energía mecánica)
 

 
Adicional No me salen 13) Un resorte de longitud L=0,1 m y constante elástica K=100 N/m tiene en uno de sus extremos una cuerpo de 0,3 kg de masa. Se lo suelta desde la posición de la figura, con el resorte horizontal,
     a)Calcular el estiramiento del resorte en la posición vertical.
     b)Calcular la velocidad en la posición vertical.
Nota: Este ejercicio me lo envió mi amigo y colega Augusto Maquieira especialmente para No me salen.
   

Es como un péndulo... pero en lugar de colgar de un piolín inextensible cuelga de un resorte de longitud natural y constante elástica conocidas. Augusto lo denominó: el péndulo elástico. Hagamos un esquema.

   

Al cuerpo se lo suelta desde la posición A, y desciende por una trayectoria elíptica (o más o menos elíptica) hasta la posición B.

Si el resorte fuese infinitamente duro (inextensible) la trayectoria sería un arco de circunferencia (que representé en gris).

   

Como se trata de una transformación conservativa ya que despreciaremos todas las fuerzas no-conservativas, es de suponer que alcanzará la misma altura de A pero del otro lado y seguirá oscilando eternamente. Lo que a nosotros nos interesa es únicamente el tramo A-B.

Igualemos las energías mecánicas de las posiciones A y B. Tomemos el cero de las alturas en la posición más baja (considerando que el cuerpo es puntual). Si llamamos e al estiramiento del resorte cuando pasa por B, y L la longitud natural del resorte, tenemos:

EMA = EMB

m g (L + e) = ½ m vB² + ½ k e²

Y acá aparecen reunidas las dos incógnitas del ejercicio: el estiramiento y la velocidad en la vertical. Si no te enojás a esa velocidad la voy a llamar directamente v (sin subíndice), ya que no aparece ninguna otra con la que se pueda confundir.

Está claro que dos incógnitas y una sola ecuación es un mal augurio; vamos a necesitar al menos otra ecuación, y no hay muchas posibilidades: 2da. Ley de Newton.

   

En la posición B sólo hay dos fuerzas actuando sobre el cuerpo: la fuerza peso, P, que tira para abajo, y el resorte, Fe, que tira para arriba. No cabe duda que la fuerza elástica debe ser mayor que el peso, ya que si así no fuese el cuerpo no podría remontar altura. El peso es igual al producto de la masa por la gravedad y la fuerza elástica es igual a la constante elástica por el estiramiento en ese instante: e.

   

La segunda Ley dirá que la sumatoria de las fuerzas que están actuando es igual al producto entre la masa y la aceleración, que en este caso es centrípeta (v²/R , donde el radio, R, no es otro que (L + e)):

k e m g = m v² / (L + e)

Ahora sí: tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas, lo que nos indica que el ejercicio está resuelto. El resto el álgebra, y te toca a vos. Bueno, está bien, te lo hago. (¡Qué gente llorona!).

Voy a reordenar un poco las ecuaciones. Primero la de energía. Seguime, no te pierdas:

m g L + m g e ½ k e² = ½ m v²

La multiplico por 2.

2 m g L 2 m g e + k e² = m v²                        [1]

y la guardo. Ahora la de dinámica:

(k e m g) (L + e) = m v²

k e L m g L + k e² m g e = m v²                          [2]

Ahora sumamos miembro a miembro la [1] con la [2]

k e L 3 m g L + 2 k e² 3 m g e = 0

Así me libré de una de las incógnitas, v, solo resta encontrar la otra, e:

2 k e² + ( k L 3 m g ) e — 3 m g L = 0

Habrás notado que quedó una cuadrática, en la que el coeficiente cuadrático es 2 k, el coeficiente lineal es ( k L 3 m g ), y el término independiente 3 m g L. Eso sí te lo dejo a vos.

   
  e = 0,06463 m aproximadamente
   
Con ese resultado vamos a cualquiera de las dos ecuaciones (mejor a las dos) y averiguamos la velocidad en B.    
  vB = 1,3785 m/s aproximadamente
   

DESAFIO: ¿Cuánto menor sería el estiramiento si el cuerpo estuviera detenido en la vertical?

  Ricardo Cabrera
 
   
Algunos derechos reservados. Se permite su reproducción citando la fuente. Profesor: “Carlitos, ¿que nombre se da a una persona que continua hablando aunque los demás no estén interesados?” Carlitos: ” Profesor".
Última actualización ene-10. Buenos Aires, Argentina.