Es como un péndulo... pero en lugar de colgar de un piolín inextensible cuelga de un resorte de longitud natural y constante elástica conocidas. Augusto lo denominó: el péndulo elástico. Hagamos un esquema.

Como se trata de una transformación conservativa ya que despreciaremos todas las fuerzas no-conservativas, es de suponer que alcanzará la misma altura de A pero del otro lado y seguirá oscilando eternamente. Lo que a nosotros nos interesa es únicamente el tramo A-B.

Igualemos las energías mecánicas de las posiciones A y B. Tomemos el cero de las alturas en la posición más baja (considerando que el cuerpo es puntual). Si llamamos e al estiramiento del resorte cuando pasa por B, y L la longitud natural del resorte, tenemos:

E_MA = E_MB

m g (L + e) = ½ m v_B² + ½ k e²

Y acá aparecen reunidas las dos incógnitas del ejercicio: el estiramiento y la velocidad en la vertical. Si no te enojás a esa velocidad la voy a llamar directamente v (sin subíndice), ya que no aparece ninguna otra con la que se pueda confundir.

Está claro que dos incógnitas y una sola ecuación es un mal augurio; vamos a necesitar al menos otra ecuación, y no hay muchas posibilidades: 2da. Ley de Newton.

La segunda Ley dirá que la sumatoria de las fuerzas que están actuando es igual al producto entre la masa y la aceleración, que en este caso es centrípeta (v²/R , donde el radio, R, no es otro que (L + e)):

k e — m g = m v² / (L + e)

Ahora sí: tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas, lo que nos indica que el ejercicio está resuelto. El resto el álgebra, y te toca a vos. Bueno, está bien, te lo hago. (¡Qué gente llorona!).

Voy a reordenar un poco las ecuaciones. Primero la de energía. Seguime, no te pierdas:

m g L + m g e — ½ k e² = ½ m v²

La multiplico por —2.

— 2 m g L — 2 m g e + k e² = — m v²                        [1]

y la guardo. Ahora la de dinámica:

(k e — m g) (L + e) = m v²

k e L — m g L + k e² — m g e = m v²                          [2]

Ahora sumamos miembro a miembro la [1] con la [2]

k e L — 3 m g L + 2 k e² — 3 m g e = 0

Así me libré de una de las incógnitas, v, solo resta encontrar la otra, e:

2 k e² + ( k L — 3 m g ) e — 3 m g L = 0

Habrás notado que quedó una cuadrática, en la que el coeficiente cuadrático es 2 k, el coeficiente lineal es ( k L — 3 m g ), y el término independiente — 3 m g L. Eso sí te lo dejo a vos.

DESAFIO: ¿Cuánto menor sería el estiramiento si el cuerpo estuviera detenido en la vertical?