Adicional No me salen E2* - Un péndulo simple oscila sin rozamiento. La relación entre las tensiones del hilo cuando pasa por los 60 y los 70 grados formados con la vertical es 1,75. ¿Cuál es el mayor ángulo alcanzado en la oscilación?

* Este excepcional problema me lo pasó por teléfono una lectora, Gabriela Dobry, que cuenta que se lo dieron en el ingreso del ITBA, e inmediatamente me pareció un ejercicio hermoso. Al resolverlo confirmé que gozaba de una enorme elegancia, entre otras virtudes. Te cuento: hay una economía de datos pavorosa, prácticamente no dice nada. En el planteo necesario para encontrar la solución aparecen muchísimas incógnitas, pero una a una se van cancelando o van desapareciendo y finalmente el resultado está ahí.

El problema de Gabriela tiene una enseñanza especial e importantísima, porque la falta de datos suele ser un escollo insalvable para los estudiantes iniciados, y he aquí un hermoso ejemplo de que no hay que temerle.

Como es mi costumbre voy a resolverlo en forma general y no numérica. Cuando llegue al resultado, recién ahí voy a reemplazar por los datos numéricos que me pasó Gabriela y vemos cuánto daba, ¿dale?

Como el dato del problema me induce a dividir A/B voy a comparar ambas posiciones con M (no te olvides que las comparaciones energéticas siempre se realizan entre 2 estados)

½ m v_A² + m g h_A = ½ m v_M² + m g h_M

½ m v_B² + m g h_B = ½ m v_M² + m g h_M

pero como M es el punto superior de la oscilación, v_M es nula y la masa -valga cuanto valga- aparece multiplicando en todos los términos, esto queda así:

½ v_A² + g h_A = g h_M

½ v_B² + g h_B = g h_M

Pareciera que se complica, porque aparecen cosas que no teníamos previstas: las alturas de cada posición y las velocidades. Y las tensiones siguen sin aparecer.

Las tensiones se relacionan con la velocidad en cada posición a través de la dinámica. La sumatoria de las fuerzas que actúan en la dirección centrípeta será igual al producto entre la masa y la aceleración centrípeta: ΣF_c = m a_c , donde la aceleración centrípeta es a_c = v²/ L. ¿Estamos de acuerdo?

Ahora metemos todo en la licuadora algebraica y vemos qué pasa. En las ecuaciones de energía paso de miembro los segundos términos y reemplazo las alturas respectivas:

½ v_A² = g L (1 — cos α_M) — g L (1 — cos α_A)

½ v_B² = g L (1 — cos α_M) — g L (1 — cos α_B)

Multiplico todo por 2 y saco factor común 2gl en el segundo miembro:

v_A² = 2 g L [(1 — cos α_M) — (1 — cos α_A)]

v_B² = 2 g L [(1 — cos α_M) — (1 — cos α_B)]

saco los corchetes:

v_A² = 2 g L ( cos α_A — cos α_M)

v_B² = 2 g L ( cos α_B — cos α_M)

ahora despejo las tensiones de las ecuaciones dinámicas y reemplazo las velocidades al cuadrado por estas expresiones que acabo de escribir.

T_A = mg cos α_A + m 2 g L ( cos α_A — cos α_M)/ L

T_B = mg cos α_B + m 2 g L ( cos α_B — cos α_M)/ L

El largo del hilo se cancela, y saco factor común mg y opero con los cosenos.

T_A = m g ( 3 cos α_A — 2 cos α_M)

T_B = m g ( 3 cos α_B — 2 cos α_M)

Recién ahora, fijate, uso el dato del ejercicio; o sea, realizo el cociente entre T_A y T_B. Simplemente divido miembro a miembro las dos últimas ecuaciones.

k m g ( 3 cos α_B — 2 cos α_M) = m g ( 3 cos α_A — 2 cos α_M)

m g se cancela, y opero para despejar cos α_M

k 3 cos α_B — 2 k cos α_M = 3 cos α_A — 2 cos α_M

k 3 cos α_B — 3 cos α_A = (2 k — 2) cos α_M

Para el caso de Gabriela:

cos α_M = 5,25 cos 70º — 3 cos 60º / 1,5

DISCUSION: Para hacer la discusión -entenderás- tendríamos que encontrar una relación entre los datos del problema y el resultado. La relación está, y es la recuadrada en amarillo, pero no es algebraicamente clara como para sacar conclusiones al voleo. Así que voy a aprovechar y la vamos a postergar para cuando resuelvas el desafío.