Siempre dije que este era el problema más difícil de la guía, tal vez por eso lo hayan quitado. Pero no deja de ser un ejercicio excelente para trabajar en el curso. Seguramente no es para un examen, porque lleva mucho tiempo y porque tiene muchas piezas encadenadas, de modo que es fácil trabarse. Pero su capacidad de integración de diversos temas de la mecánica es profundamente aleccionadora.

Dediquémosle un párrafo a interpretarlo: parece ser que el cubito desliza sobre la superficie y en lugar de llegar al piso deslizando sobre el casquete se desprende de él a cierta altura que nos piden hallar. Parece lógico, ya que a medida que baja va ganando velocidad lateral y eso hace que, en un momento, el casquete no pueda retenerlo más a su lado. A partir de ese punto en que se separan el cubito sigue cayendo como cualquier otro cuerpo libre, en una trayectoria parabólica de tiro oblicuo.

Como todo problema de energía mecánica lo importante es que elijamos dos eventos para comparar. Parece obvio: uno de ellos será el más alto, que llamaremos A y el otro será aquel que todavía no sabemos dónde se encuentra pero que ya le ponemos nombre, se llamará S (por separación).

E_CA + E_PA = E_CS + E_PS

½ m v_A² + m g h_A = ½ m v_S² + m g h_S

Como ves, ahí aparece nuestra incógnita, h_S. Además, la masa del cubito multiplica en todos lados, o sea que no afecta al resultado. Y también reemplazo h_A por r , que es nuestro dato.

½ v_A² + g r = ½ v_S² + g h_S

¡Pero inesperadamente aparece una incógnita más, v_S, la velocidad con que el cubito se separa del casquete...! O nos suicidamos... o le pedimos ayuda a la dinámica. Hagamos urgentemente un DCL para la situación S.

P_c = P sen α

P_t = P cos α

La componente tangencial no aporta información necesaria. Nos dice que el cubito baja cada vez más rápido, pero eso ya lo sabíamos y no nos interesa. También nos dice que baja con una aceleración creciente cosa que nos preocupa un poco porque ese tipo de movimientos nunca los estudiamos... pero volvemos a tranquilizarnos, porque recordamos que la dinámica nos brinda "instantáneas" del universo, y eso es todo lo que queremos, la descripción del instante S, nada más.

Respecto a la dirección centrípeta, que es la que nos interesa, la 2da. Ley de la dinámica afirma que la suma de todas las fuerzas que actúen en esa dirección será igual al producto entre la masa del cubito y la aceleración centrípeta en ese lugar, que se puede expresar en función de la velocidad en ese lugar.

P_c — N_S = m a_CS

P_c — N_S = m v_S²/r

Sonamos. Salimos de una y nos metemos en otra peor. Apareció una nueva incógnita, ¡N_S! ¿Cómo hacemos? Mirá, de acá sólo te saca el estar atento... porque situaciones como ésta acechan en todo el curso de física... se trata de una SITUACION LIMITE. ¿Te acordás qué era el punto S? Era el lugar en el que el casquete se separaba del cubito... ¿cuánto puede entonces valer la fuerza de contacto en ese lugar en el que se separan, en el que desaparece el contacto? ¡CERO! ¡N_S = 0! Entiendo que si no te lo dicen, no sea inmediato verlo. Pero es bueno saber, que situaciones como ésta te están esperando detrás de cada árbol del bosque del conocimiento. Entonces queda...

P sen α = m v_S²/ r

m g sen α = m v_S²/ r

g sen α = v_S²/ r

Y otra vez más sonamos... aparece α, ¡parió la abuela! Pero se me ocurre algo...

½ v_A² + g r = ½ v_S² + g h_S

½ v_A² + g r = ½ g h_S + g h_S

½ v_A² + g r = 3 g h_S / 2

Y por fin... puedo despejar nuestra incógnita

DISCUSION: El resultado tiene toda la descripción del problema: las unidades son correctas. Si la velocidad en A vale cero el cubito se despega a una altura igual a 2/3 del radio.

Respecto al ejercicio en sí mismo, te reitero que me parece importante. Reúne varias de las dificultades más comunes de cualquier curso inicial de Física. Cinemática, dinámica del circular, conservación de energía, geometría y trigonometría, y una situación límite muy interesante. En el punto S hay un cambio de movimiento: venía siendo circular acelerado y pasa a ser tiro oblicuo. Un instante antes de llegar a S (si se me permite semejante barbaridad) el móvil sigue teniendo todas las características propias del movimiento que traía. No es fácil abordar mentalmente los límites... pero ya te vas a acostumbrar.