3.21- Dos esferas de masa m_A y m_B están suspendidas de modo tal que en su posición de equilibrio sus centros de masa quedan a la misma altura. Se separa la esfera A de la posición inicial y se la deja caer desde una altura h contra la esfera B, con la que choca en forma perfectamente elástica.
La relación entre sus masas es m_A/m_B = 3. Luego la altura a la que llegará la esfera B será:
          a) 2 h              b) 1/4 h         c) h
          d) 9/4 h          e) 2,5 h          f) 3/2 h

Bueno, acá tenés un problema largo y complicado. Pero tu consigna tiene que ser: yo voy a hacer toda la física que pueda con este choque elástico. Y te aseguro, con eso alcanza.

Hice una serie de esquemas con la secuencia de eventos encadenados que vincularemos de a dos, siempre de a dos. Como de costumbre, aprovecho los esquemas para ponerle nombre a los eventos y a cualquier otra variable que, después, aparezca en el desarrollo del problema.

Arranquemos con la bajada de la bola A. Es una transformación conservativa de modo que

E_MAo = E_MA1

Si tomo el cero de alturas en la posición más baja y recuerdo que la bola A se suelta desde el reposo ("se la deja caer")...

m_A g h_0A = ½ m_A v_1A²

de donde

Ahora le sigue el choque. Aunque te enojes voy a plantear las ecuaciones completas, y después tiro todo lo que sobra. Acá va la de conservación de la cantidad de movimiento, vale para TODOS los choques, sean del tipo que sean.

m_A v_1A + m_B v_1B = m_A v_2A + m_B v_2B

Y aquí la de conservación de la energía que solo se aplica en los choques perfectamente elásticos (idealmente elásticos)

½ m_A v_1A² + ½ m_B v_1B² = ½ m_A v_2A² + ½ m_B v_2B²

Ok... ahora tiramos todo lo que sobra, v_1B es cero, se lleva todo el término; ½ se cancela porque aparece en todos los términos... ¡Y lo más importante! vamos a realizar un inteligente reemplazo en ambas ecuaciones, utilizando ese dato curioso que nos brinda el enunciado, a saber, que m_A = 3 m_B

Ahora puedo cancelar las masas ya que aparecen en todos los términos.

Esto ya tiene otro color. La velocidad v_1A no me preocupa, ya me dice cuánto vale la ecuación [1], pero las otras dos... voy a tratar de expresar una en función de la otra. Hay miles de caminos posibles, a ver si te gusta éste. La ecuación [4] la elevo al cuadrado (ojo, mirá que el segundo miembro es un binomio), esa es la [6]. Y a ella le resto la [5] multiplicada por 3, que es la ecuación [7]. No te pierdas.

DISCUSION: Por simple curiosidad... ¿cuánto te parece que debe valer la energía mecánica final del sistema? ¡La misma que la inicial, claro! ¡Si todas las transformaciones que hubo fueron conservativas! Y la energía mecánica final es puramente potencial, porque en F los cuerpos tienen velocidad cero. Entonces

E_MF = E_PFA + E_PFB = m_A g h_FA + m_B g h_FB

= m_A g (1/4) h_0A + m_B g (9/4) h_0A

y reemplazando la relación de masas m_B = (1/3) m_A

= m_A g (1/4) h_0A + (1/3) m_A g (9/4) h_0A

= m_A g (1/4) h_0A + m_A g (3/4) h_0A = m_A g h_0A = E_M0 !!!

DESAFIO: El sistema evoluciona de esta manera: Las bolas vuelven a bajar y vuelven a chocar... ¡justo en el punto más bajo de la trayectoria! Se trata de un encuentro formidable, una cita espectacular. En ese encuentro, en ese nuevo choque la bola B empuja a la A, transfiriéndole su energia, de forma tal que la B se queda detenida y la A gana velocidad para poder alcanzar la altura inicial... y así sigue eternamente.

Contarlo es divertido, ¡y demostrarlo es súper sencillo! Ese es el desafío: me alcanza con que demuestres que aunque las dos bolas salieron con distintas velocidades y alcanzaron distintas alturas... se van a volver a encontrar en la misma en la posición que chocaron antes, al que llegan en el mismo e increíble instante.