3.13- Se tienen dos carritos A y B que pueden desplazarse con rozamiento despreciable sobre el riel horizontal de la figura. La masa del carrito A es 2 kg.

a- El carrito A es lanzado con una velocidad de 7 m/s contra el B, que está en reposo. Ambos experimentan un choque perfectamente elástico, y
luego de separarse se observa que A retrocede moviéndose a 5 m/s. Determinar la masa del carrito B, y su velocidad luego del choque.

b- (transcripto abajo)

Bueno, planteemos todo lo que sabemos de un choque perfectamente elástico. Primero la conservación de la cantidad de movimiento total, y segundo, la conservación de la energía cinética total.

m_A v_OA+ m_B v_OB = m_A v_FA + m_B v_FB

½ m_A v_OA² + ½ m_B v_OB² = ½ m_A v_FA² + ½ m_B v_FB²

Tiremos las cosas que sobran: las que son cero, y las que se pueden cancelar porque aparecen multiplicando en todos los términos.

m_A v_OA = m_A v_FA + m_B v_FB

m_A v_OA² = m_A v_FA² + m_B v_FB²

Si lo mirás adecuadamente, tenés frente a los ojos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (te las puse en azul): m_B y v_FB. Eso quiere decir que operando algebraicamente podés hallar las incógnitas... que no son otras que las que te pide el enunciado del ejercicio.

No te preocupes... yo te lo hago, no es nada difícil. Primero paso los primeros términos de los segundos miembros, al primero. Ahí saco la masa de A como factor común. Queda ésto, mirá:

m_A (v_OA — v_FA) = m_B v_FB

m_A (v_OA² — v_FA²) = m_B v_FB²

Ahora podés dividir miembro a miembro ambas ecuaciones (la de abajo sobre la de arriba), y una de las incógnitas queda sola, solita, para que hagas la cuenta.

v_FB = (v_OA² — v_FA²) / (v_OA — v_FA)

Tené en cuenta que si ponemos positiva a la velocidad de ida (7 m/s) entonces la velocidad de regreso debe ser negativa: — 5 m/s.

v_FB = 24 m/s / 12

Vamos entonces al segundo ítem del ejercicio.

b- En otra experiencia, se lanza al carrito B contra el A, ahora en reposo, y se mide una velocidad vA= 12 m/s luego de separarse. Hallar las velocidades inicial y final de B.

Nuevamente aplicaremos las dos ecuaciones que describen los choques perfectamente elásticos. No hay nada nuevo.

m_A v_O'A + m_B v_O'B = m_A v_F'A + m_B v_F'B

½ m_A v_O'A² + ½ m_B v_O'B² = ½ m_A v_F'A² + ½ m_B v_F'B²

Se trata de los mismos cuerpos, de modo que ahora hay que considerar que es dato, también, la masa de B. La velocidad inicial de A es nula... así que nos queda:

m_B v_O'B = m_A v_F'A + m_B v_F'B

m_B v_O'B² = m_A v_F'A² + m_B v_F'B²

Y nuevamente se nos aparece un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas... que tiene solución algebraica y no es Física... es Algebra. Es muy importante que visualices este límite... eso te va a ayudar a entender la Física.

Algunos profesores de Física suelen darle a los estudiantes unas fórmulas especiales para resolver estos casos algebraicos problemáticos. Mi opinión es que eso es contraproducente para la enseñanza de la Física. Prefiero que hagas tu experiencia algebraica sin fórmulas mágicas; yo sé que hay que batallar bastante antes de arribar al resultado. Pero así es como se aprende el álgebra. No hay otro camino.

Te muestro mi resolución: Paso los segundos términos de los segundos miembros al primero, y saco como factor común la masa de B.

m_B (v_O'B — v_F'B) = m_A v_F'A

m_B (v_O'B² — v_F'B²) = m_A v_F'A²

En la ecuación de abajo aplico el quinto caso de factoreo (ya sé que vos te lo olvidaste y que jamás se te ocurriría... bueno, vos probaste por otro camino más largo... pero podés llegar igual... y vos estás aprendiendo)

m_B (v_O'B — v_F'B) = m_A v_F'A

m_B (v_O'B — v_F'B) (v_O'B + v_F'B) = m_A v_F'A²

Ahora divido miembro a miembro ambas ecuaciones (la de abajo sobre la de arriba) y me queda ésto:

(v_O'B + v_F'B) = v_F'A

Y la ecuación de cantidad de movimiento estaba en esto otro:

(v_O'B — v_F'B) = m_A v_F'A / m_B

Sumando miembro a miembro me quedo con 2 veces v_O'B. Y restando miembro a miembro con 2 veces v_F'B. No te olvides que la velocidad con la que viene sale el carrito A después de que B lo choque es v_F'A= — 12 m/s, para usar el mismo criterio que antes.