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2.23- Un cuerpo es impulsado por un resorte como muestra el esquema de la figura. Considerando que el rozamiento es despreciable en el primer tramo, hasta llegar a B. Hallar:
            a- La compresión del resorte para la cual se deja libre la masa si pasa por el punto A con la mínima velocidad posible.
            b - El trabajo de la fuerza de rozamiento si es apreciable desde B en adelante, y el cuerpo llega justo hasta el punto C

Vamos por partes, como decía el fantasma de la ópera. A la posición en que se encuentra la bolita en la figura, o sea, quietita y al lado del resorte la voy a llamar posición (o mejor dicho, estado) 0. Y voy a comparar energéticamente 0 con A.

W_Fnc0A = ΔE_M0A

No me voy a cansar nunca de remarcarte lo importante que es el uso de subíndices, que indican qué tramo estamos considerando en la comparación de estados energéticos. Empecemos con el primer miembro. No hay tracciones, no hay rozamientos... no hay fuerzas no-conservativas actuando ni trabajando... el primer miembro vale cero.

0 = ΔE_M0A

E_M0 = E_MA

E_C0 + E_PG0 + E_Pe0 = E_CA + E_PGA + E_PeA

½ m v₀² + m g h₀ + ½ k Δx₀² = ½ m v_A² + m g h_A + ½ k Δx_A²

Elijamos astutamente altura igual a cero la posición en 0, y adviertamos que en ese punto la velocidad de la bolita vale cero, que en el punto A la energía potencial elástica vale cero, y la altura vale 2 R, entonces...

½ k Δx₀² = ½ m v_A² + m g 2 R

Y acá aparece una dificultad importante... ¡despertate! Ok, decía... que acá aparece una dificultad importante y es la siguiente: si te fijás bien en esa ecuación hay dos incógnitas. Una de ellas es Δx₀, lo cual era esperable ya que es lo que nos pregunta el enunciado; y la otra es v_A. Ahí está el problema. El enunciado nos sugería que v_A fuese la mínima posible. Muchos estudiantes, para ser más precisos 47 de cada 72, inventan que v_A sea igual a cero... craso error... si v_A fuera cero la bolita caería libremente ¡y en forma vertical! como cualquier caída libre común y silvestre. Está claro que no es el caso y que v_A es distinto de cero... ¿pero cuánto vale?

La respuesta no la hallaremos en la energía sino en la dinámica. Mirá el DCL.

La cuestión es que cuando la velocidad es la mínima... la normal se hace cero. Es sólo por un instante, al toque vuelve a tomar contacto la bolita con el riel, pero por un instante se hace cero. Yo sé que no es algo inmediato, ni obvio, ni fácil, ni divertido. Es lo que nosotros llamamos una situación límite, y los físicos y los matemáticos siempre estamos al acecho de esas situaciones (y esas situaciones al acecho nuestro).

Y la dinámica (que como siempre se la dejamos a Newton) nos dice que la sumatoria de fuerzas que actúa sobre un cuerpo (nos ha quedado solito el peso) es igual al producto de la masa del cuerpo por su aceleración... en este caso centrípeta.

P = m v_A² / R

m g = m v_A² / R

g = v_A² / R

v_A² = g R

Esto lo meto en la ecuación de energía que nos había quedado pendiente por exceso de incógnitas...

½ k Δx₀² = ½ m g R + m g 2 R

Δx₀² = 5 m g R / k

Ahora que sabemos cuanto vale Δx₀ y cuánto vale v_A, podemos comparar energéticamente cualquiera de esas dos situaciones, 0 o A, con C. No hay preferencias. Voy a comparar A con C.

W_RozAC = ΔE_MAC

W_RozAC = E_MC — E_MA

W_RozAC = ½ m v_C² + m g h_C — ½ m v_A² — m g h_A

Como h_A = h_C y como v_C = 0...

W_RozAC = — ½ m v_A²

W_RozAC = — ½ m g R