c- Para el caso a: cacule la tensión del hilo en O y en P. Para el caso  b: calcule la tensión en Q.

Te debe quedar claro que nos están hablando de dos transformaciones diferentes, las oscilaciones preguntadas en a no se vinculan con las preguntadas en b, no son comparables entre sí. Vamos a la primera

el trabajo de todas las fuerzas no-conservativas que actuaron entre O y P es igual a la variación de energía mecánica entre O y P .

Empecemos con el primer miembro. Para saber cuánto vale el trabajo de las fuerzas no-conservativas que actúan entre O y P primero debemos saber cuáles son todas las fuerzas que actúan. Hagamos un DCL.

Pasemos entonces al segundo miembro

ΔE_MOP = 0

E_Mo = E_Mp

E_co + E_po = E_cp + E_pp

½ m v_o² + m g h_o = ½ m v_P² + m g h_P

la masa de la lenteja aparece multiplicando en todos los términos, la cancelamos

½ v_o² + g h_o = ½ v_P² + g h_P

la altura de P la elegí convenientemente igual a cero. Igual quedan dos incógnitas, una es la que pide el enunciado del problema, v_p, pero hay otra que no sabemos, h_o. Pero por otro lado hay algunos datos del enunciado que no usamos y en base a ellos podemos expresar h_o y superar el inconveniente. Prestá atención, sólo se trata de una pavada trigonométrica, pero aparece con cierta frecuencia.

Mirá el triangulito que te voy a marcar en color.

De modo que

h_o = L — L . cos α

h_o = L . (1 — cos α)

lo metemos en la última que quedó pendiente y tenemos

½ v_o² + g L . (1 — cos α) = ½ v_P²

de donde

v_P = [ v_o² + 2 g L . (1 — cos α) ]^½

Ahora vamos a la segunda situación. Fijate que ahora pasa por O con una velocidad diferente de la que tenía antes. Se está moviendo con otra energía, por eso esto no lo podemos vincular con lo anterior. Lo que tenemos que hacer es vincular energéticamente las situaciones O y Q de este proceso.

W_FncOQ = ΔE_MOQ

Las fuerzas que actúan son las mismas de antes, eso no cambió. De modo que el problema sigue siendo de tipo conservativo, el primer miembro de la ecuación vuelve a ser cero. Por lo tanto

E_Mo = E_MQ

E_Co + E_Po = E_CQ + E_PQ

½ m v_o² + m g h_o = ½ m v_Q² + m g h_Q

la masa vuelve a cancelarse (es notable que la cinética del péndulo sea independiente de su masa...)

½ v_o² + g L . (1 — cos α) = g L

½ v_o² = g L — g L . (1 — cos α)

½ v_o² = g L [ 1 — (1 — cos α) ]

½ v_o² = g L ( 1 — 1 + cos α)

½ v_o² = g L cos α

v_o = (2 g L cos α)^½

Para calcular la tensión del hilo en los casos planteados, hay que recurrir a Newton. Al plantear la 2da ley para la dirección centrípeta quedará

T_P — P = m . a_C

T_P = m . g + m . v_P² / L

T_P = m . (g + v_P² / L )

Te juro que es así. No lo soñé -¡ieee-eeeeh!

DISCUSION: Este problema fue larguísimo, así que no me da ganas de discutir nada. Fijate solamente una cosa en la que muchos meten la pata por no decir la cola: siempre que haya movimiento circular, la fuerza que tira hacia adentro tiene que ser mayor que la que tira hacia afuera. Eso se ve clarito en el caso inicial, cuando calculamos la tensión en P. Si T_P no fuese mayor que el peso no podría estar girando. Bueno, por algún motivo todos los novatos muestran una tendencia irrefrenable a pensar que en ese punto T y P son iguales. Cosa´e mandinga.