FIS (dN6.11)* - Un resorte de 1 m de longitud natural se encuentra en posición vertical, con su extremo inferior unido al piso. El extremo superior del resorte está unido a un cuerpo que oscila verticalmente. Durante dichas oscilaciones, la máxima velocidad alcanzada por el cuerpo es de 41 cm/s, y su máxima aceleración es de 205 cm/s² (ambos en valor absoluto). ¿Cuál es la mínima longitud que el resorte alcanza?

Bien, este es un excelente ejercicio de aplicación de las relaciones fundamentales del MOA. Pero para poder disfrutarlo y aprovecharlo tenemos que aclarar con toda precisión qué es lo que tenemos que buscar y calcular. Miremos el esquema:

A la izquierda aparece el resorte apoyado en el piso con su longitud natural, L₀, que es igual a 1 m, como indica el enunciado. En el medio aparece el mismo resorte, pero ahora con el cuerpo de masa m apoyado, y en equilibrio. Es obvio que el resorte debe estar comprimido un cierto Δx, para sostener al cuerpo. Y desde esa posición, con el resorte ya comprimido, oscila hacia arriba y hacia abajo una cierta cantidad, A, que no es otra cosa que la amplitud de la oscilación.

De modo que la mínima longitud que alcanza el resorte y el enunciado nos pide que averigüemos, L_M, la obtendremos de la siguiente resta:

L_M = L₀ – Δx – A

Lo que viene ahora es el cálculo de la amplitud, A. Tenés que tener a mano las ecuaciones horarias del movimiento oscilatorio. Son éstas:

x = A cos (ωt+φ)

v = – A ω sen (ωt+φ)

a = – A ω² cos (ωt+φ)

Los datos que aporta el enunciado son una velocidad máxima y una aceleración máxima. La velocidad máxima se alcanza cuando sen (ωt+φ) vale 1. Y la aceleración máxima se alcanza cuando cos (ωt+φ) vale 1. Pidámosle a las ecuaciones horarias de velocidad y aceleración que hablen de esos eventos máximos.

41 cm/s = – A ω

205 cm/s² = – A ω²

Si lo mirás con cariño tenemos ahí dos ecuaciones con dos incógnitas, la amplitud, A, y la pulsación, ω. Podemos operar algebraicamente para obtener sus valores. Un camino rápido consiste en dividir miembro a miembro la segunda ecuación sobre la primera. Así obtenemos:

ω = 5 s^-1

Y si metemos ese valor en las ecuaciones (en ambas para chequear), obtenemos:

A = 8,2 cm

Ya avanzamos bastante. Pero nos falta Δx. Volvamos a mirar el esquema en el que aparece Δx. Esa es la que llamamos posición de equilibrio. Es cierto que el cuerpo está en el medio de su oscilación y lo que hace ahí parece cualquier cosa menos un equilibrio. Pero si lo pensás detenidamente esa es la posición en la que la aceleración vale cero y dinámicamente le ocurre lo mismo que si se moviese con cualquier velocidad o que estuviese quieto. Miremos un DCL en ese instante:

Las únicas fuerzas que actúan sobre el cuerpo son: la elástica, F_e, y el peso del cuerpo, P.

La ecuación de Newton (con a = 0) dirá:

F_e = P

Reemplazando la fuerza elástica por su igual, según la ley de Hooke, k Δx, y el peso por su igual eterno, m g, tendremos:

k Δx = m . g

Y ahí aparece el Δx que precisamos, pero lamentablemente no conocemos ni la masa del cuerpo, m, ni la constante elástica del resorte, k. ¡Ah... pero tenemos un conejo que sacar de la galera! Ya conocemos el valor de la pulsación, ω, y en las oscilaciones de los resortes, el cuadrado de la pulsación es igual al cociente entre la constante elástica y la masa:

ω² =  k/m

De modo que la compresión que estamos buscando, Δx, la podemos expresar de esta manera... ¡y calcularla!

Δx = g / (k/m)

Δx = g / ω²

Haciendo números:

Δx = 10 m/s² / 25 s^-²

Δx = 0,4 m = 40 cm

Lo único que nos queda es calcular la longitud mínima, como lo habíamos razonado al principio.

L_M = L₀ – Δx – A

L_M = 100 cm – 40 cm – 8,2 cm

Todo es práctica.