FIS (dN6.05)* - Un resorte ideal de constante elástica k = 800 N/m y longitud natural 30 cm tiene un extremo unido al techo y en el otro está colgando un cuerpo de 8 kg de masa. Se desprecian los efectos del rozamiento con el aire. Si se desplaza 3 cm hacia abajo el cuerpo desde la posición de equilibrio, y en el instante t = 0 se lo suelta desde el reposo:

a) calcule la aceleración con la que parte.

b) Realice un gráfico de la velocidad del cuerpo en función del tiempo desde el instante t = 0 s hasta que completa un ciclo, consignando valores de tiempo y velocidad. Indique claramente el sistema de referencia elegido.

El ejercicio es bien sencillo, casi de aplicación de fórmulas... pero alguna enseñanza interesante vamos a tratar de extraerle.

La oscilación del cuerpo tendrá una pulsación ω que se puede calcular en función de la constante del resorte y la masa que oscila:

ω = (k/m)^½

ω = (800 N/m / 8 kg)^½

ω = (100 s^-2)^½

ω = 10 s^-1

Para armar las ecuaciones horarias del movimiento oscilatorio todavía nos falta conocer la amplitud, A, y la fase inicial, φ. Pero esos datos están en el enunciado, si lo leés atentamente. Te copio los modelos de ecuación por si no los tenés a mano:

x = A cos (ωt+φ)

v = – A ω sen (ωt+φ)

a = – A ω² cos (ωt+φ)

La amplitud va a ser igual al apartamiento desde el equilibrio siempre y cuando desde ahí se suelte con velocidad nula, que es lo que ocurre. O sea A = 0,03 m. De modo que para el instante inicial, 0 s, la posición valdrá justamente A:

A = A cos (ω 0 s + φ)

1 = cos (ω 0 s + φ)

1 = cos (φ)

Y el coseno vale 1 cuando el argumento vale cero, de modo que φ = 0. Ahora sí podemos armar las ecuaciones:

x = 0,03 m cos (10 s^-1 t)

v = – 0,03 m . 10 s^-1 sen (10 s^-1 t)

a = – 0,03 m 100 s^-2 cos (10 s^-1 t)

Como nos piden la aceleración cuando parte (t = 0 s) usaremos la tercera ecuación:

a_(0s) = – 3 m/s² cos (10 s^-1. 0 s)

Nos pidieron que fuésemos claros respecto al sistema de referencia. Ya lo fui al decir que esa aceleración apunta hacia arriba. Te lo voy a justificar. Al poner que el apartamiento inicial, x_(0s) valía 0,03 m estamos diciendo que las posiciones positivas crecen hacia abajo (acordate que el enunciado dice que el resolte cuelga del techo y se aparta del equilibrio estirando el resorte). Luego, un vector negativo será aquel que apunte hacia arriba.

Esta parte del ejercicio también podía resolverse con los conocimientos básicos de dinámica, particularmente, fuerzas elásticas.

Para eso tenés que tener en cuenta que el resorte y el cuerpo están en el equilibrio cuando la aceleración es nula y el resorte se halla estirado una longitud que no conocemos y que llamaremos Δl_e, si te parece. En ese momento la fuerza con que el resorte tira del cuerpo hacia arriba es igual a la que la Tierra tira hacia abajo:

F_e = P

k Δl_e = m . g

Δl_e = m . g / k

Δl_e = 80 N  / 800 N/m

Δl_e = 0,1 m 

Es a partir de ese estiramiento (10 cm) que el cuerpo se desplaza 3 cm más y se lo suelta. De modo que el estiramiento inicial valdrá 13 cm. Con esa información volvemos a plantear la ecuación de Newton, ya no para el equilibrio sino para el instante t = 0 del ejercicio.

P – F_(0s) = m . a_(0s)

Fijate que estoy usando el mismo sistema de referencia que antes, o sea, positivo hacia abajo.

m . g – k Δl_(0s) = m . a_(0s)

Qué papa... de ahí despejo la aceleración y la calculo:

a_(0s) = g – ( k Δl_(0s) / m )

a_(0s) = 10 m/s² – ( 800 N/m . 0,13 m / 8 kg )

a_(0s) = 10 m/s² – 13 m/s²

a_(0s) = – 3 m/s²

Lo mismo que antes, obvio.

Vamos a la segunda parte. La ecuación que describe la velocidad ya la teníamos armada. Acá va de vuelta:

v = – 0,3 m/s . sen (10 s^-1 t)

Cuya gráfica, obviamente, es una senusoide. Fijate que debe arrancar de cero, y que hallará el máximo y el mínimo en |0,3 m/s|. Y que en el arranque debe decrecer... pero ¿cuánto valdrá el período? Fácil, conociendo la pulsación (y recordando que todo movimiento armónico tiene un movimiento circular asociado, ficticio, de referencia...) podemos calcular el período de esta manera:

T = 2π/ω

T = 2π/10 s^-1

T = 0,628 s

Ya tenemos todo para hacer bien el grafiquito, pero para que no digas que No me salen es berreta o de mala calidad te voy a hacer los tres (posición, velocidad y aceleración). A vos te pedían sólo el del medio.

En lugar de graficar un solo ciclo grafiqué dos (para que tengas).

Obviamente los ordené en tandem, como corresponde.

Aprovechá para reflexionar en el conjunto: fijate cómo cuando uno alcanza el máximo otro se hace cero... Y pensalo físicamente... con el resorte y el cuerpo oscilando ahí, dentro de tu cabeza.

Y si te animás, pensalo también en términos de derivadas: el valor que adopta la de abajo representa la inclinación en cada instante de la de arriba.