Este ejercicio es muy bonito sobre todo porque te pone al tanto de que el GPS de tu teléfono funciona gracias a que el móvil se comunica con los satélites que surcan el espacio arriba de tu cabeza.  Se mueven bastante rápido: aparecen en el horizonte y unas horas después desaparecen del otro lado. Pero están diseñados para que siempre haya al menos tres arriba tuyo para que entre los tres puedan triangular tu posición y decidir exactamente (más menos 10 metros) dónde estás parado.

El período de rotación alrededor de la Tierra se puede conocer a partir de los datos aportados por el enunciado, fijate:

La segunda ley de Newton afirma que la fuerza gravitatoria sobre cada satélite (que es la única fuerza que actúa sobre ellos) es igual al producto de su masa por su aceleración (voy a usar la expresión de aceleración que contiene al período, T).

Donde F_G es la fuerza gravitatoria sobre el satélite selenestacionario, m_s es su masa, R_o es el radio de su órbita y T el período de su giro.

Uno de los errores más habituales en este planteo consistió en no advertir que el radio de órbita es la suma del radio terrestre más la altura de la órbita.

R_o = R_T + h

R_o = 6.400.000 m + 20.200.000 m

R_o = 26.600.000 m

Por otro lado, la Ley de Gravitación Universal indica que esa fuerza gravitatoria es proporcional al producto de las masas que se atraen e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros de masa, o sea, el mismo R_o:

Donde M_T es la masa de la Tierra, que vale: M_T = 6 x10²⁴ kg y G = 6,67 x10^-11 Nm²/kg² la constante de gravitación universal.

Si igualamos ambas ecuaciones nos queda:

Reordenamos y cancelamos la masa del satélite:

El posicionamiento de los satélites arriba tuyo y el instante en que ocupan cada posición debe ser tan precisa (para que el geo-posicionamiento satelital, GPS, funcione) que permanentemente deben hacer correcciones con relojes ultraprecisos (relojes atómicos) y hasta correcciones relativistas (la relatividad enseña que el tiempo no transcurre igualmente para cualquier observador según su estado de velocidad relativa). La cuestión es que el sistema funciona correctamente y es un contento.

Vamos a la segunda pregunta que es mucho más sencilla. La intensidad de la fuerza gravitatoria nos la da cualquiera de la dos fórmulas que utilizamos aquí: la ey de la masa y la ley de gravitación universal. Prefiero utilizar la segunda que no requiere del período, ya que si erramos en la cuenta anterior, erraremos en el siguiente, lo estaremos propagando.

Lógicamente, un valor inferior al que tendría en la superficie de la Tierra.

Hoy por hoy, noviembre de 2019, hay tres sitemas GPS funcionando en el planeta. Cada uno posee unos doce satélites y se necesitan todos activos para el normal funcionamiento. Y como reemplazar un satélite es una empresa de meses, los tres tienen uno o dos satélites de repuesto también orbitando.

DESAFIO: El servicio GPS ¿es gratuito?