NO ME SALEN
PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA DEL CBC
(Leyes de Newton)
 

¡no me salen!

NMS 4.20* - Un planeta de radio R está acompañado por dos satélites que describen órbitas circulares con velocidades angulares constantes a su alrededor. Respecto al centro del planeta, el satélite A se encuentra a una distancia 3R en tanto que el B está a una distancia 2R. Indicar cuál de las afirmaciones que siguen es la única correcta:

   a) La velocidad angular del satélite A es mayor que la del B.
   b) Como sus velocidades son constantes, sus aceleraciones son nulas.
   c) La velocidad tangencial de ambos satélites es la misma.
   d) El período del satélite A es mayor que el de B.
   e) El satélite B tiene menor aceleración que el A.
   f) Ambos tienen la misma velocidad angular.

Bien, si los buscás, acá mismo tenés varios ejercicios recontra parecidos. Pero igual te voy a resolver éste para que no llores.

Para empezar te cuento que si estudiaste a fondo el asunto de la gravitación, no podés haber pasado por alto la tercera Ley de Kepler, que se deriva inmediatamente de la Ley de Gravitación Universal y que dice que el cuadrado del período de rotación es proporcional a cubo del radio de órbita:

T² = K R³

Con lo cual ya tenés la respuesta correcta que es la d). Pero como vamos de a una:

a) La velocidad angular del satélite A es mayor que la del B. Como para cada satélite se trata de una sola fuerza, la gravitatoria, se puede igualar la segunda ley de Newton con la Ley de gravitación:

ms . ω² . R = G MP ms / R²

Donde ms es la masa del satélite (cualquiera de ambos), MP es la masa del planeta, y ω² . R es la aceleración centrípeta que experimenta cada satélite (cada uno con su ω² y su R. Podemos cancelar la masa del satélite y uno de los radios de órbita, y nos queda:

ω² = G MP / R³

Lo que nos muestra que la velocidad angular es inversamente proporcional al radio (al cubo del radio) de órbita, lo que contradice la proposición a). Vamos al siguiente:

b) Como sus velocidades son constantes, sus aceleraciones son nulas. Basura pura, no merece ni que la discuta. Al girar tienen aceleración centrípeta.

c) La velocidad tangencial de ambos satélites es la misma. Volvamos a la igualdad de Newton con Newton:

ms . v² / R = G MP ms / R²

= G MP ms / R

Acá podés observar que, nuevamente, la velocidad tangencial es inversamente proporcional al radio de órbita, y si tienen radios diferentes no pueden tener velocidades iguales.

d) El período del satélite A es mayor que el de B. ésta es la correcta. Mirá:

ms . 4π² R / T² = G MP ms / R²

4π² R / T² = G MP / R²

De donde:

= (4π² / G MP) R³

La Ley de Kepler. Si aumenta el radio, aumenta el período.

e) El satélite B tiene menor aceleración que el A. Nuevamente, si igualás Newton con Newton nos queda:

ac = G MP / R²

Las aceleraciones dependen del radio, no pueden ser iguales. Finalmente:

f) Ambos tienen la misma velocidad angular. Ya te lo demostré en la discusión del ítem a). Chaupinela.

   
   
*Este ejercicio formó parte del final de Física tomado el 4 de agosto de 2017.
Para ver el examen completo haga click acá.
 
   
 
 
DESAFIO:  
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