Este ejercicio es interesante porque nos va a dejar una reflexión final digna de destacar.

Como casi todos los ejercicios de gravitación se resuelven aplicando al mismo cuerpo en simultáneo la segunda ley de Newton y la ley de Gravitación. Pero acá tendremos que hacerlo por partida doble, porque tenemos dos situaciones distintas: el mismo satélite y con el mismo radio de órbita, pero en torno a dos cuerpos: la Tierra y la Luna. Acá va el esquemita doble.

Para cada situación independiente, hay que admitir que la única fuerza que recibe el satélite (y que lo hace girar incesantemente) es la fuerza gravitatoria, que en cada caso vale:

para el que gira en torno a la Tierra: F_T = G M_T m_s / R²

para el que gira en torno a la Luna: F_L = G M_L m_s / R²

Por otro lado, esa fuerza es la única que actúa sobre el satélite (en cada caso) y la responsable de su aceleración centrípeta, tal como lo describe la segunda ley de Newton:

para el que gira en torno a la Tierra: F_T = m_s a_T

para el que gira en torno a la Luna: F_L = m_s a_L

Reemplacemos la aceleración centrípeta por su expresión equivalente en función del período de giro:

para el que gira en torno a la Tierra: F_T = m_s 4π² . R / T_T²

para el que gira en torno a la Luna: F_L = m_s 4π² . R / T_L²

Donde T_T y T_L son los períodos con que los satélites idénticos giran en torno a la Tierra y a la Luna respectivamente.

Ahora, para cada cuerpo igualemos los segundos miembros de las expresiones que describen la fuerza gravitaroria:

para el que gira en torno a la Tierra: m_s 4π² . R / T_L² = G M_T m_s / R²

para el que gira en torno a la Luna: m_s 4π² . R / T_L² = G M_L m_s / R²

Podemos cancelar la masa del satélite que figura multiplicando en cada miembro, y juntar el radio de giro en un solo factor de exponente 3:

para el que gira en torno a la Tierra: R³ = (G M_T/4π²) T_T²

para el que gira en torno a la Luna: R³ = (G M_L/4π²) T_L²

Cada una de esas expresiones no son otra cosa que la segunda ley de Kepler. Pero Kepler comparaba radios de órbita y períodos de giro para varios satélites de un mismo cuerpo central... nosotros queremos hacer lo opuesto: dos cuerpos centrales diferentes con un mismo satélite que orbita a cada uno de ellos a la misma distancia orbital. Lo que tienen en común esas dos expresiones es, justamente, la distancia orbital, R.

(G M_L/4π²) T_L² = (G M_T/4π²) T_T²

M_L . T_L² = M_T . T_T²

T_L² = (M_T/M_L) . T_T²

O sea, los períodos de giro son diferentes. Sólo valdrían lo mismo si la masa terrestre fuese igual a la masa lunar, y sabemos que son diferentes.

Pero no nos quedemos con esta descripción cualitativa. Hagamos una pregunta concreta: si un satétile orbita la Tierra en 3 horas, ¿en cuánto tiempo dará una vuelta completa a la Luna a la misma distancia orbital? Bueno, sabiendo que la masa de la Tierra vale 5,97 x 10²⁴ kg, y la de la Luna 7,35 × 10²² kg, vamos a la última expresión que hallamos...

T_L² = (M_T/M_L) . T_T²

T_L² = (5,97 x 10²⁴ kg / 7,35 × 10²² kg) . (3 h)²

T_L = 27 h

Podemos preguntarnos si este resultado es lógico, imaginable, sensato, intuitivo... ¡Y claro que lo es! A la misma distancia, la Tierra ejerce una fuerza gravitatoria mucho mayor que la Luna, luego si tira del satélite con más fuerza es lógico que lo haga girar con mayor rapidez, y tarde menos en dar una vuelta completa.

Y para finalizar -supongo que ya te habrás dado cuenta-, que todo lo que dijimos es independiente de la masa del satélite... o sea, es válido para satélites diferentes, de distinta masa, color, procedencia, nacionalidad, religión y orientación sexual.