NO ME SALEN
PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA DEL CBC

(Leyes de Newton, fuerzas de vínculo)
 

¡no me salen!

NMS 1.45* - El sistema de tres masas de la figura está inicialmente en reposo; las poleas y los hilos tienen masas despreciables y los hilos son inextensibles.

    a) Escriba las ecuaciones de Newton para las masas y la condición de vínculo que relaciona sus posiciones.
    b) Halle la aceleración de cada cuerpo y las tensiones en los hilos en función de las masas y de g.

*Este ejercicio pertenece a la Guía de Trabajos Prácticos 2007 de la materia Física 1 de la carrera de Física de la FCEyN, UBA.

 

Como todo problema de dinámica que se precie... hay que comenzar por los DCLs.

   

En orden a la claridad decidí referir todas las aceleraciones y fuerzas a un único SR, que elegí vertical y positivo hacia arriba.

Tenés que tener en cuenta que las sogas inextensibles y de masa despreciable garantiza que las fuerzas (que llamaré tensiones) que ejercen en sus extremos son iguales. Como en el sistema hay dos sogas independientes tienen fuerzas diferentes (les puse nombres y colores diferentes).

   

Como las aceleraciones de cada cuerpo no necesariamente deben ser iguales, les puse a acada una un nombre diferente.

Las ecuaciones de Newton para cada cuerpo quedan así:

   
Cuerpo A           T1 — PA = mA . aA [1]  
Cuerpo B           T2 — PB = mB . aB [2]  
Cuerpo C           T2 — PC = mC . aC [3]  
   
Si mirás la polea móvil (y te haces un DCL mental) te vas a dar cuenta de una relación de vínculo importantísima:    
Polea móvil           T1 2 T2= 0 [4]  
   
La parte más difícil es la relación de vínculo entre las aceleraciones. Para descubrirlo tenés que remitirte a la relación de desplazamientos, y dividir dos veces por el intervalo de tiempo (derivar, diría un físico). Por ejemplo: si el cuerpo A desciende 10 cm y el B se queda quieto... ¿qué pasa con el C? Y así. Se llega a lo siguiente:    
movimiento           2 aAaB + ac = 0 [5]  
   

También podés verificarlo rápidamente suponiendo que -alternativamente- la aceleración de cada uno vale cero (cosa que, dependiendo de la relación entre las masas, podría ocurrir perfectamente).

Ahora, si prestás un poco de atención a lo que hicimos hasta ahora tenés que darte cuenta que arribamos a un sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas; y, creeme, tiene solución. Las 5 incógnitas (las tres aceleraciones más las dos tensiones) son justamente las que solicita el enunciado del problema. Es importantísimo que en este momento hagas un alto, que entiendas que hasta acá hicimos un gran trabajo de física, que lo que sigue es álgebra. No es fácil ni expeditivo... hay que batallar un buen rato. Tampoco se trata de un único camino, estoy seguro que vos podés encontrar algún otro camino algebraico más corto que el que te voy a mostrar yo ahora.

De la ecuación [4] despejo T1, y lo reemplazo en la [1]. Después despejo cada aceleración de las ecuaciones [1], [2] y [3]. Además reemplacé cada fuerza peso por su igual: el producto de masa por gravedad. Y llegamos acá:

aA = (2 T2 / mA ) — g

aB = (T2 / mB ) — g

aC = (T2 / mC ) — g

Ahora meto estas tres expresiones en la ecuación [5]

2 . [(2 T2 / mA ) — g] + (T2 / mB ) — g + (T2 / mC ) — g = 0

(4 T2 / mA) + (T2 / mB) + (T2 / mC) = 4 g

De acá despejo T2, que es la única incógnita en esa ecuación... y el resto ya es cuesta abajo.

   
 
T2 =   4 g ( mA mB mC)  

mA mB + mA mC + 4 mB mC
 
   
Con este resultado voy a la ecuación [4] y saco T1:    
 
T1 =   8 g ( mA mB mC)  

mA mB + mA mC + 4 mB mC
 
   
También lo llevo a las expresiones de las aceleraciones de cada cuerpo -las últimas que hicimos-, que quedan así:  
 
aa =   8 g (mB mC)  — g

mA mB + mA mC + 4 mB mC

aB =   4 g (mA mC)  — g

mA mB + mA mC + 4 mB mC

ac =   4 g (mA mB)  — g

mA mB + mA mC + 4 mB mC

 
 
 
 

La parte más fácil y divertida de este ejercicio consiste en discutir los resultados. La primera pregunta -como siempre- es verificar que los resultados tengan las unidades correctas. Efectivamente tanto las expresiones para las tensiones (que se medirán en unidades de fuerza) como las de aceleración (en unidades de aceleración) tienen las que les corresponden.

Podemos jugar un cacho con los valores de las masas. Si cualquiera de ellas fuese cero (o despreciable frente a las otras dos) la aceleración de las tres sería g, o sea se precipitaría todo libremente, con las tensiones iguales a cero. Eso lo razono intuitivamente... lo interesante es que nuestros resultados digan lo mismo... ¡y eso dicen!

Te doy más ideas: que las tres masas sean iguales; que las masas B y C sean iguales y cada una la mitad de la masa A...

 
DESAFIO: ¿Te animás a hacer sin ayuda un sistema de cuatro masas con dos poleas móviles? Sos mi ídolo.  

Algunos derechos reservados. Se permite su reproducción (a todo color) citando la fuente. Última actualización jun-08. Buenos Aires, Argentina.