FIS 99 (d6.04) - Considere una partícula de masa m suspendida del techo por medio de un resorte de constante elástica k y longitud natural L₀ . Determine cómo varía su posición en función del tiempo sabiendo que en t = 0 la partícula se halla a una distancia 2 L₀ del techo, con velocidad nula.

El mayor problema de este ejercicio (la trampa) es que la amplitud no se mide desde L₀ (la longitud natural del resorte) sino desde la posición de equilibrio (llamémosla L_E). Veamos un diagrama de cuerpo libre de la particula suspendida en equilibrio:

Como se halla en equilibrio las dos fuerzas son iguales:

             F_e = P

k (L_E − L₀) = m g

De donde:

L_E = L₀ + m g / k

Desde esa posición L_E, se separa la partícula hasta 2L₀ y se lo suelta (ahí la velocidad es nula), de modo que la amplitud, A, vale:

A = 2L₀ − L_E

A = 2L₀ − L₀ − m g / k

A = L₀ − m g / k

Por otro lado, ω² =  k / m, dos datos del enunciado (no numéricos, pero responderemos en función de ellos). Y nos falta φ, pero hay suficiente información para obtenerlo. Acaordate que la velocidad era nula en t = 0.

v = − ω A sen ( ω t + φ)

0 m/s = − (k/m)^½ (L₀ − m g/k) sen φ

φ = 0

Ya tenemos todo para armar la ecuación de posición:

x = A cos ( ω t + φ )

x = (L₀ − mg/k) cos ( (k/m)^½ t )

Y si medimos la posición desde el techo, le sumamos L_E