FIS 98 (6.03) - Un cuerpo de masa m unido a un resorte horizontal de constante elástica k describe un movimiento oscilatorio armónico simple de 20 cm de amplitud. Sabiendo que en el instante t = 0 s el cuerpo pasa por la posición de equilibrio moviéndose hacia la derecha del origen de coordenadas con una velocidad de módulo 1 m/s, calcular:
    a) La posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
    b) ¿En qué instantes el cuerpo pasa por el origen de coordenadas?

Como siempre, conviene tener los modelos de ecuaciones horarias a mano:

x = A cos ( ω t + φ)

v = − ω A sen ( ω t + φ)

a = − ω² A cos ( ω t + φ)

Con los datos del enunciado ya sabemos que la amplitud vale, A = 20 cm. pero todavía nos faltan las otras dos constantes, ω y φ.

Hay dos párrafos del enunciado que permiten escribir las ecuaciones casi completas, para obtener las otras dos constantes que nos faltan. Lo que nos cuentan es que para t = 0, x = 0, y que para t = 0, v = 1 m/s (hacia la derecha).

0 m = 0,20 m cos φ

1 m/s = − ω . 0,20 m sen φ

De la primera deducimos que φ vale 90° o también 270° ( o sea, π/2 o 3π/2). En ambos casos el coseno vale 0, pero en el primer caso sel seno vale 1 y en el segundo vale -1. Si metemos eso en la segunda vemos que para que la solución correcta era:

φ = 3π/2

Así la velocidad en ese instante será positiva y el cuerpo se moverá hacia la derecha. (Si te cuesta entenderlo debés recurrir al movimiento circular uniforme asociado al movimiento armónico). Vamos a la segunda ecuación:

1 m/s = − ω . 0,20 m . sen 3π/2

1 m/s = ω . 0,20 m . 1

Resulta que ω vale:

ω = 5 s^-1

Con las 3 constantes podemos armar las ecuaciones:

Vamos al ítem b). Como la función posición es repetitiva, habrá muchos instantes en los que la posición valga 0.

0 m = 0,20 m cos ( 5 s^-1 t + 3π/2 )

Se ve claramente que lo que tiene que valer 0 es el coseno, que se hace 0 en:
π/2, 3π/2, 5π/2, 7π/2... Resumiendo, en (2n+1) π/2, con n = 0, 1, 2, 3...

De modo que:

5 s^-1 t_(0m) + 3π/2 = (2n+1) π/2

5s^-1 t_(0m) + 3π/2 = nπ + π/2

5s^-1 t_(0m)= nπ + π/2 − 3π/2

5s^-1 t_(0m)= nπ − π

5 s^-1 t_(0m)= (n−1) π

Mirá el gráfico que te hice. En rojo tenés la función posición de este movimiento:

x = 0,20 m cos ( 5s^-1 t + 3π/2 )

El primer x = 0 se halla cuando t = 0, tal como indica el enunciado (y eso ocurre para n = 1). El segundo x = 0 se halla cuando t = π/5 (eso ocurre para n = 2). El tercer x = 0 se halla cuando t = 2π/5 (eso ocurre para n = 3). Y así hasta el infinito.