En este, como en todos los problemas de movimiento relativo, tenemos que encontrar tres personajes, ¿los tenés presentes? Queda claro que para un observador que está afuera del tren las gotas caen con cierta inclinación, que deberemos encontrar, pero que no caen verticalmente. Ese es nuestro observador fijo (que observa la velocidad de las gotas desde la Tierra, V_G, y también la velocidad del tren desde la vereda, V_T). El móvil son las gotas, y el observador móvil es el pasajero del tren (el que observa las gotas desde la ventanilla, V_GT).

NOTA: las gotas de lluvia viajan a velocidad constante, al menos cuando están a nuestra vista llegando al piso. Eso se debe al rozamiento con el aire. No se trata de caídas libres ni movimientos variados.

Además tenemos dos momentos que son cuando el tren viaja a 15 km/h -que llamaremos 1- y cuando el tren viaja a 30 km/h -que llamaremos 2-. Acá viene lo principal del ejercicio... cuando podés traducir el enunciado a un esquema de suma de vectores (en este caso a dos).

La velocidad de las gotas respecto de la Tierra, V_G, y el ángulo que forman con la vertical, α, son los mismos en ambos casos. Son los valores que tenemos que averiguar. En ambos se dará que:

V_G = V_GT1 + V_T1                                   vectores

V_G = V_GT2 + V_T2                                   vectores

Escribamos las mismas ecuaciones pero para sus componentes horizontal y vertical (usaré sentido positivo hacia la izquierda y hacia abajo):

1 vertical             V_G cos α = V_GT1  cos 30°                               

1 horizontal      V_G sen α = V_GT1 sen 30° — V_T1

2 vertical          V_G cos α = V_GT2  cos 45°

2 horizontal      V_G sen α = V_GT2 sen 45° — V_T2

Si lo mirás con cariño tenés ahí 4 ecuaciones con 4 incógnitas. Yo te lo resuelvo (hay 28.319 caminos diferentes, y no tengo idea si el que voy a recorrer yo es el más elegante). Lo importante es que entiendas que acá se acabó la física y tenés que arremangarte con el álgebra.

Como las velocidades de la gota respecto al tren no nos interesan las despejamos de la primera y la tercera ecuación:

V_GT1 = 1,155 V_G cos α

V_GT2 = 1,414 V_G cos α

Lo que nos dio lo metemos en la segunda y en la cuarta respectivamente.

V_G sen α = 0,577 V_G cos α — 15 km/h

V_G sen α = V_G cos α — 30 km/h            [1] (esta la volveré a usar)

Igualemos los segundos miembros:

0,577 V_G cos α — 15 km/h = V_G cos α — 30 km/h

Simplifiquemos un cacho:

V_G cos α = 35,5 km/h                            [2]

Si metemos eso en la ecuación [1]

V_G sen α = 5,5 km/h                              [3]

Ahora divido miembro a miembro la [3] con la [2]:

tg α = 0,154

Vuelvo a la [2] o a la [3] (o mejor a ambas)...

Aunque no nos lo piden, podemos averiguar la velocidad de las gotas vistas desde el tren cuando se mueve a distintas velocidades:

V_GT1 = 40,1 km/h                                    cuando viaja a 15 km/h

V_GT2 = 50,2 km/h                                    cuando viaja a 30 km/h

DESAFIO: Si hiciste el desarrollo algebraico conmigo te eximo del desafío. Si no... tu desafío es hacer uno alternativo y mandármelo si te parece que el tuyo es más económico y elegante.