a - Susana se para en un escalón, y se deja llevar por la escalera hasta arriba.
    b - Carlos trepa por la escalera, a razón de un escalón por segundo.
    c - Jaimito baja la escalera, a razón de un escalón por segundo.
    d - El mecánico de mantenimiento detiene la escalera, y sube por ella a razón de dos escalones por segundo.

Este ejercicio es paradójico. Es tan sencillo que lo podría resolver cualquier transeúnte del shopping, con la condición de que se lo preguntemos haciéndole creer que es por el concurso para un viaje al Caribe con su estrella favorita. En cambio, si llega a sospechar que se trata de física, cinemática o movimiento relativo... olvídalo.

En clase me resisto a explicarlo... y le digo a mis estudiantes: pensalo, y si no lo sacás te reviento a golpes. Pero parece que esa insinuación los hunde todavía más en la mística académico-científica, y ahí sucumben. En el shopping lo resolverían sin siquiera darse cuenta, ni festejar. Voy a resolverlo de dos maneras diferentes y trataré de mostrarte todos los caminos mentales que podrías tomar.

La primera forma de resolver este problema es la que intentaría un estudiante desesperado por aprobar la materia, temeroso, pero valiente: vamos a exprimir los datos del problema a ver qué otras informaciones esconden y les podemos sacar.

Resulta fácil darse cuenta de que a lo largo de la escalera hay 12 escalones siempre al descubierto. Elijas la dimensión que elijas para efectuar el cálculo, el cociente vale 12. ¿Hacés la prueba? 3,6 m de altura total dividido 0,3 m de altura de cada escalón da 12. Con las otras dimensiones lo mismo. Hacelo, así vas calentando las neuronas.

Pasemos a la cuestión de las velocidades. La frase "La cadena de escalones se mueve ascendiendo en una dirección que forma 37° con la horizontal, a 30 cm/s" (tenés derecho a leerla 59 veces) quiere decir que la velocidad de avance sobre la diagonal (esa que yo te pinté en rojo en el primer esquema de ahí arriba) vale 30 cm/s. Podríamos llamarla velocidad de la escalera, ¿dale? Y como es mi costumbre la voy a representar en rojo, ya que se trata del medio móvil.

V_E = 30 cm/s = 0,3 m/s

Para atravesar toda la cinta de deslizamiento, un escalón tardará:

Δt = Δl / V_E = 6 m / 0,3 m/s = 20 s

Nada mal para ir preparando la billetera. Pero volviendo a la cinemática, razono que si 12 escalones desaparecen en 20 segundos en el piso de arriba (o aparecen en el de abajo), eso quiere decir que aparecen a razón de 0,6 escalones por segundo. Todo esto no te lo digo para confundirte. Es sólo un razonamiento más que se te podría ocurrir, y si no le ves utilidad dejalo ahí anotado en el margen... papel es lo que sobra.

Como enseñó Galileo, se cumple que:

V_S = V_P + V_E

Ahora basta con reemplazar la velocidad de la persona por cada una de las personas que aparecen en el enunciado. Se agrega la pequeña dificultad de encontrar el valor de esas velocidades porque no vienen expresadas en metros ni centímetros sobre segundo sino en "escalones por segundo". Pero si miramos una vez más el esquemita del escalón, resulta obvio que subir un escalón por segundo es lo mismo que ascender 0,3 m por segundo... o desplazarse lateralmente 0,4 m por segundo... o -lo que a nosotros nos interesa- desplazarse en diagonal, sobre la escalera, a razón de 0,5 m por segundo.

Según mis cálculos, las velocidades de las personas son:

velocidad de Susana, V_PS = 0 e/s = 0 m/s

velocidad de Carlos, V_PC = 1 e/s = 0,5m/s

velocidad de Jaimito, V_PJ = –1 e/s = – 0,5m/s

velocidad del mecánico, V_PM = 2 e/s = 1 m/s

Ahora, a cada uno por separado le sumo la velocidad de la escalera, y así obtengo la velocidad con que los ven subir en el shopping.

V_SS = V_PS + V_E = 0 m/s + 0,3 m/s = 0,3 m/s

V_SC = V_PC + V_E = 0,5m/s + 0,3 m/s = 0,8 m/s

V_SJ = V_PJ + V_E = – 0,5m/s + 0,3 m/s = – 0,2 m/s

V_SM = V_PM + 0 = 1 m/s

Para saber lo que tarda cada uno, volvemos a la definición de velocidad (constante):

ΔtS = Δl / VSS = 6 m / 0,3 m/s = 20 s          ΔtC = Δl / VSC = 6 m / 0,8 m/s = 7,5 s          ΔtJ = Δl / VSJ = – 6 m / – 0,2 m/s = 30 s          ΔtM = Δl / VSM = 6 m / 1 m/s = 6 s

Ese es el tiempo que cada uno permanece arriba de la escalera. Una forma de averiguar cuántos escalones pasaron bajo sus pies es multiplicar ese tiempo por la velocidad de cada uno (medida en escalones por segundo). El caso de Jaimito no es para preocuparse. Sólo se divierte (si vos no lo hiciste nunca es porque no tuviste infancia).

#eS = 20 s . 0 e/s = 0 e          #eC = 7,5 s . 1 e/s = 7,5 e          #eJ = 30 s . 1 e/s = 30 e          #eM = 6 s . 2 e/s = 12 e

Bueno, hasta aquí el problema, más o menos como lo haría yo en un curso de Física en el que intento enseñar cinemática, y movimiento relativo.

De lo que no cabe duda es de que nuestro transeúnte no lo resolvería de ninguno de los modos anteriores. El lo haría aplicando simples reglas de tres y contando escalones.

Por ejemplo, para Carlos podría plantearse algo como: la escalera avanza a razón de 12 escalones cada 20 segundos y Carlos sube 1 escalón por segundo, o 20 escalones en 20 segundos. De modo que en 20 segundos estaría 32 escalones más arriba (los 20 que sube él más los doce que sube la escalera sola). Pero él no necesita ir tan alto, ni subir durante tanto tiempo. Para cambiar de piso le alcanza con 12 escalones, de modo que

32 escalones _________________ 20 segundos
12 escalones _________________ x

x = 12 escalones . 20 segundos / 32 escalones
x = 7,5 segundos

Hay decenas de planteos posibles para cada móvil; la regla del almacenero es infalible.

DESAFIO: Volvé a resolver el ejercicio de las dos formas que mencioné antes: todos movimientos horizontales, y todos movimientos verticales. Después vení a buscar tu pasaje al Caribe, 7 días y estadía pagos.