Todas las preguntas tienen trampa (qué malos que son los físicos). Vamos de a una:

Todos los cuerpos en caída libre se mueven con la aceleración de la gravedad. La respuesta es un rotundo SÍ. El motivo es justamente que a eso se lo llama caída libre: al cuerpo que cae con la aceleración de la gravedad. Si soltás un cuerpo en las proximidades de la superficie terrestre no cae en caída libre: durante la caída va interactuando con el aire y la aceleración resulta menor que la gravedad. Todos los cuerpos se ven más o menos frenados por el rozamiento con el aire. Eso no es caída libre. Por lo tanto podemos concluir que no existe las caídas libres acá en el vecindario de la Tierra, que está envuelta de aire. Sin embargo, muchas veces, esa interacción con el aire es despreciable (caídas cortas, cuerpos con suficiente masa, etcétera) y la caída real se aproxima mucho a una caída libre.

Pero atención: en el lenguaje coloquial también se llama caída libre a la caída de un cuerpo aunque interactúe con el aire. Por lo tanto siempre vas a estar a merced de cierta ambigüedad idiomática. En general los enunciados de los ejercicios de física aclaran si se puede o no se puede despreciar el rozamiento con el aire. Si no lo aclaran, aclaralo vos y obrá en consecuencia.

¿Por qué los paracaidistas no caen con la aceleración de la gravedad? La caída con el paracaídas abierto ocurre a velocidad constante.

Un dato interesante que une las dos preguntas es éste: la fuerza de rozamiento con el aire crece con la velocidad de caída, de modo que si te tirás desde un avión (sin paracaídas) el primer tramo de la caída es acelerado con una aceleración bastante cercana a g. Pero a medida que vas ganando velocidad la fuerza de rozamiento va creciendo. Entonces seguís cayendo pero con una aceleración cada vez menor.

Aún así seguís aumentando la velocidad de descenso. Pero llega un momento en que el rozamiento con el aire (que fue cada vez mayor a medida que crecía la velocidad) se hizo tan grande que alcanza el valor del peso. A partir de ese instante tu caída ocurre a velocidad uniforme. A esa velocidad se la llama velocidad límite o velocidad terminal. En el caso de una caída sin paracaídas, para un hombre adulto, es de unos 55 m/s (200 km/h), para un paracaidista es de unos 5,5 m/s (20 km/h).

¿Funcionaría un paracaídas en la Luna? No. En la Luna hay gravedad, no tanto como acá, pero lo suficiente como para que los cuerpos caigan y se queden pegados a la superficie lunar. De hecho si mirás la filmación de un astronauta parado en la Luna y soltando un martillo desde su mano casi no se nota la diferencia con una caída acá en la Tierra. Y por otro lado, allá sí las caídas libres son caídas libres. El motivo es el siguiente:

Lo que no hay en la Luna es atmósfera, ni de aire ni de ningún tipo. Por lo tanto las caídas son el resultado exclusivo de la atracción entre el cuerpo que cae y la Luna. No hay nada que frene esos movimientos. Son caídas libres puras y simples. Ahora que, eso sí, los paracaídas no sirven, no funcionan, no te frenan, ni siquiera se abren. Nunca lleves un paracaídas a la Luna... es una carga inútil.

En Júpiter tampoco hay aire (hay gas metano); ¿sirve un paracaídas en Júpiter? SÍ. Sea cual sea la atmósfera que sea... el paracaídas recobra su utilidad.